Номер 2.60, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.60. Покажите, что прямая, соединяющая середины параллельных хорд, проходит через центр окружности.

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и две произвольные параллельные хорды $AB$ и $CD$. Пусть точки $M$ и $N$ — середины этих хорд соответственно. Наша задача — доказать, что точки $M$, $N$ и $O$ лежат на одной прямой.

Воспользуемся известным свойством хорды: отрезок, соединяющий центр окружности и середину хорды (не являющейся диаметром), перпендикулярен этой хорде.

1. Поскольку $M$ — середина хорды $AB$, то отрезок $OM$ перпендикулярен хорде $AB$. Это можно записать как $OM \perp AB$.

2. Аналогично, поскольку $N$ — середина хорды $CD$, то отрезок $ON$ перпендикулярен хорде $CD$, то есть $ON \perp CD$.

3. По условию задачи хорды $AB$ и $CD$ параллельны: $AB \parallel CD$.

4. Известно, что если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Так как $OM \perp AB$ и $AB \parallel CD$, то отсюда следует, что $OM \perp CD$.

5. Таким образом, мы имеем два луча $OM$ и $ON$, которые выходят из одной точки $O$ и оба перпендикулярны одной и той же прямой $CD$. Согласно теореме о единственности перпендикуляра к прямой, из точки, не лежащей на прямой, можно провести только один перпендикуляр к этой прямой. Следовательно, лучи $OM$ и $ON$ должны лежать на одной прямой.

Это означает, что точки $O$, $M$ и $N$ коллинеарны, то есть лежат на одной прямой. Прямая, проходящая через середины $M$ и $N$ двух параллельных хорд, также проходит и через центр окружности $O$.

Так как хорды $AB$ и $CD$ были выбраны произвольно, это доказательство справедливо для любой пары параллельных хорд.

Ответ: Утверждение доказано.