Номер 2.66, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.66. Докажите, что при последовательном применении двух центральных симметрий с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ получается преобразование параллельного переноса.

Пусть даны две центральные симметрии: $S_1$ с центром в точке $O_1$ и $S_2$ с центром в точке $O_2$. Необходимо доказать, что композиция этих преобразований, то есть их последовательное применение, является параллельным переносом.

Рассмотрим произвольную точку $A$ на плоскости. Применим к ней первую симметрию $S_1$. В результате получим точку $A'$, которая является образом точки $A$ при симметрии относительно центра $O_1$. По определению центральной симметрии, точка $O_1$ является серединой отрезка $AA'$.

Далее к полученной точке $A'$ применим вторую симметрию $S_2$. В результате получим точку $A''$, которая является образом точки $A'$ при симметрии относительно центра $O_2$. Аналогично, точка $O_2$ является серединой отрезка $A'A''$.

Рассмотрим треугольник, образованный точками $A$, $A'$ и $A''$, то есть $\triangle AA'A''$. В этом треугольнике точка $O_1$ является серединой стороны $AA'$, а точка $O_2$ — серединой стороны $A'A''$. Следовательно, отрезок $O_1O_2$ является средней линией этого треугольника.

Согласно свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна половине её длины. В векторной форме это свойство для средней линии $O_1O_2$ и стороны $AA''$ записывается как:$\vec{O_1O_2} = \frac{1}{2}\vec{AA''}$Из этого соотношения можно выразить вектор $\vec{AA''}$:$\vec{AA''} = 2\vec{O_1O_2}$

Это равенство показывает, что итоговая точка $A''$ получается из начальной точки $A$ путем смещения на вектор $\vec{AA''}$. Поскольку центры симметрий $O_1$ и $O_2$ являются фиксированными точками, то и вектор $\vec{O_1O_2}$, соединяющий их, является постоянным (не зависит от выбора точки $A$). Следовательно, вектор $\vec{v} = 2\vec{O_1O_2}$ также является постоянным вектором.

Преобразование плоскости, при котором каждая точка смещается на один и тот же постоянный вектор, называется параллельным переносом. Таким образом, мы доказали, что последовательное применение двух центральных симметрий есть параллельный перенос на вектор, равный удвоенному вектору, проведенному из центра первой симметрии в центр второй.

Ответ: Последовательное применение двух центральных симметрий с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ является преобразованием параллельного переноса на вектор $2\vec{O_1O_2}$.