Номер 2.68, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.68. Даны прямая и две окружности, расположенные по разные ее стороны. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы две его вершины лежали на заданных окружностях, а высота, опущенная из третьей вершины, лежала на заданной прямой.

Анализ

Пусть $l$ — данная прямая, а $ω_1$ и $ω_2$ — данные окружности, расположенные по разные стороны от $l$. Пусть $ABC$ — искомый равносторонний треугольник, у которого вершина $A$ лежит на $ω_1$, вершина $B$ — на $ω_2$, а высота, опущенная из вершины $C$, лежит на прямой $l$. Так как высота треугольника $ABC$, опущенная из вершины $C$, лежит на прямой $l$, то прямая $l$ перпендикулярна стороне $AB$. В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, прямая $l$ — это срединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Это означает, что точки $A$ и $B$ симметричны относительно прямой $l$. Таким образом, задача сводится к нахождению такой точки $A$ на окружности $ω_1$, чтобы симметричная ей относительно прямой $l$ точка $B$ лежала на окружности $ω_2$.

Построение

Метод построения основан на применении осевой симметрии.

1. Строим окружность $ω_1'$, симметричную окружности $ω_1$ относительно прямой $l$. Для этого:
   а) Находим $O_1'$ — центр окружности $ω_1'$, как точку, симметричную центру $O_1$ окружности $ω_1$ относительно прямой $l$.
   б) Радиус окружности $ω_1'$ равен радиусу $r_1$ окружности $ω_1$.
2. Находим точки пересечения построенной окружности $ω_1'$ и данной окружности $ω_2$. Каждая точка пересечения является возможным положением для вершины $B$ искомого треугольника. Обозначим одну из этих точек как $B$.
3. Строим вершину $A$ как точку, симметричную точке $B$ относительно прямой $l$. По построению, точка $A$ будет лежать на окружности $ω_1$.
4. Имея две вершины $A$ и $B$, строим третью вершину $C$. Для этого проводим две окружности: одну с центром в точке $A$ и радиусом $AB$, другую — с центром в точке $B$ и радиусом $BA$. Точки пересечения этих окружностей являются возможными положениями для вершины $C$. Так как прямая $l$ является срединным перпендикуляром к $AB$, обе эти точки будут лежать на прямой $l$. Выбираем любую из них в качестве вершины $C$.
5. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.
1. Вершина $A$ лежит на $ω_1$. Точка $B$ была выбрана на пересечении $ω_2$ и $ω_1'$. Точка $A$ была построена как $S_l(B)$, где $S_l$ — симметрия относительно $l$. Так как $B \in ω_1'$, то $A = S_l(B) \in S_l(ω_1')$. Поскольку $ω_1'$ является образом $ω_1$ при симметрии $S_l$, то $S_l(ω_1') = S_l(S_l(ω_1)) = ω_1$. Следовательно, $A \in ω_1$.
2. Вершина $B$ лежит на $ω_2$. Это следует из построения, так как $B$ — точка пересечения $ω_1'$ и $ω_2$.
3. Треугольник $ABC$ — равносторонний. Вершина $C$ построена на пересечении окружностей с центрами в $A$ и $B$ и радиусами, равными $AB$. Следовательно, $AC = AB$ и $BC = AB$, что означает, что треугольник $ABC$ равносторонний.
4. Высота, опущенная из $C$, лежит на $l$. Поскольку $A$ и $B$ симметричны относительно $l$, прямая $l$ является срединным перпендикуляром к отрезку $AB$. В равностороннем треугольнике высота, опущенная из $C$, совпадает с медианой и лежит на срединном перпендикуляре к стороне $AB$. Следовательно, высота из $C$ лежит на прямой $l$.
Все условия задачи выполнены.

Исследование

Число решений задачи зависит от числа точек пересечения окружностей $ω_1'$ и $ω_2$. Пусть $d$ — расстояние между их центрами $O_1'$ и $O_2$, а $r_1$ и $r_2$ — их радиусы.
1. Если $d > r_1 + r_2$ или $d < |r_1 - r_2|$, окружности не пересекаются, и решений нет.
2. Если $d = r_1 + r_2$ или $d = |r_1 - r_2|$, окружности касаются в одной точке. Существует одна точка $B$, которая определяет одну пару вершин $(A, B)$. Для этой пары можно построить два треугольника (с вершиной $C$ по разные стороны от прямой $AB$). Таким образом, в этом случае будет 2 решения.
3. Если $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$, окружности пересекаются в двух точках ($B_1$ и $B_2$). Каждая точка определяет свою пару вершин ($(A_1, B_1)$ и $(A_2, B_2)$). Для каждой пары можно построить по два треугольника. Таким образом, в этом случае может быть до 4 решений.
Поскольку в задаче требуется построить один такой треугольник, достаточно найти одну точку пересечения.

Ответ:

Искомый треугольник строится следующим образом:
1. Выполняется осевая симметрия одной из окружностей (например, $ω_1$) относительно данной прямой $l$. Получается новая окружность $ω_1'$.
2. Находится точка пересечения $B$ окружности $ω_1'$ со второй данной окружностью $ω_2$.
3. Строится точка $A$, симметричная точке $B$ относительно прямой $l$.
4. На стороне $AB$ строится равносторонний треугольник $ABC$. Его третья вершина $C$ автоматически окажется на прямой $l$.