Номер 2.72, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.72. В четырехугольнике $ABCD$ углы при вершинах $B$ и $D$ равны, а диагональ $BD$ делит диагональ $AC$ пополам. Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм.

Для доказательства воспользуемся методом от противного.

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, в котором $\angle ABC = \angle ADC$, а диагональ $BD$ делит диагональ $AC$ пополам в точке их пересечения $O$, то есть $AO=OC$. Предположим, что $ABCD$ не является параллелограммом.

Из признака параллелограмма известно, что если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Поскольку по нашему предположению $ABCD$ — не параллелограмм и одна его диагональ ($AC$) делится точкой пересечения пополам, то вторая диагональ ($BD$) не должна делиться пополам. То есть $BO \neq DO$.

Пусть для определенности $BO > DO$. На отрезке $BO$ отложим отрезок $OD_1$ так, чтобы $OD_1 = DO$.

Рассмотрим четырехугольник $AD_1CD$. Его диагонали $AC$ и $D_1D$ пересекаются в точке $O$. По условию $AO=OC$, а по построению $D_1O=DO$. Следовательно, четырехугольник $AD_1CD$ является параллелограммом.

В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому $\angle ADC = \angle AD_1C$.

По условию задачи мы знаем, что $\angle ABC = \angle ADC$.

Из двух последних равенств следует, что $\angle ABC = \angle AD_1C$.

Точки $B$ и $D_1$ лежат по одну сторону от прямой $AC$. Так как отрезок $AC$ виден из точек $B$ и $D_1$ под одним и тем же углом, то точки $A$, $B$, $C$ и $D_1$ лежат на одной окружности.

Таким образом, четырехугольник $ABCD_1$ — вписанный.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

1. Углы $\angle CAD_1$ и $\angle CBD_1$ опираются на дугу $CD_1$, следовательно, $\angle CAD_1 = \angle CBD_1$.

2. Углы $\angle ACD_1$ и $\angle ABD_1$ опираются на дугу $AD_1$, следовательно, $\angle ACD_1 = \angle ABD_1$.

Поскольку $AD_1CD$ — параллелограмм, то его противолежащие стороны параллельны ($AD_1 \parallel CD$), а треугольники, на которые его делит диагональ, равны ($\triangle AD_1C = \triangle CDA$).

Из параллельности $AD_1 \parallel CD$ и секущей $AC$ следует равенство накрест лежащих углов: $\angle D_1AC = \angle ACD$. Из $\angle CAD_1 = \angle CBD_1$ и $\angle D_1AC = \angle ACD$ получаем $\angle CBD = \angle ACD$.

Из равенства треугольников $\triangle AD_1C = \triangle CDA$ следует равенство соответствующих углов: $\angle ACD_1 = \angle CAD$. Из $\angle ACD_1 = \angle ABD_1$ и $\angle ACD_1 = \angle CAD$ получаем $\angle ABD = \angle CAD$.

Сложим полученные равенства: $\angle ABD + \angle CBD = \angle CAD + \angle ACD$ $\angle ABC = \angle CAD + \angle ACD$

Сумма углов в треугольнике $\triangle ADC$ равна $180^\circ$: $\angle ADC + \angle CAD + \angle ACD = 180^\circ$

Подставив в это равенство выражение для суммы углов $\angle CAD + \angle ACD$, получим: $\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$

Но по условию $\angle ABC = \angle ADC$. Заменив $\angle ADC$ на $\angle ABC$, имеем: $\angle ABC + \angle ABC = 180^\circ$, откуда $2\angle ABC = 180^\circ$ и $\angle ABC = 90^\circ$.

Следовательно, $\angle ADC = 90^\circ$.

Если $\angle ADC = 90^\circ$, то параллелограмм $AD_1CD$ является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны, значит $AC = DD_1$. Поскольку они делятся точкой пересечения $O$ пополам, то $OA=OC=OD=OD_1$.

Также, если вписанный четырехугольник $ABCD_1$ имеет прямой угол ($\angle ABC = 90^\circ$), то он вписан в окружность, диаметром которой является диагональ $AC$. Центр этой окружности — точка $O$. Радиус равен $OA$. Так как точка $B$ лежит на этой окружности, расстояние от центра $O$ до точки $B$ равно радиусу, то есть $OB=OA$.

Из двух последних выводов имеем $OB = OA$ и $OD = OA$, следовательно, $OB=OD$.

Это противоречит нашему первоначальному предположению, что $BO \neq DO$. Аналогичное противоречие получается и в случае $BO < DO$.

Следовательно, наше предположение было неверным, и $BO=DO$.

Так как в четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Что и требовалось доказать.