Номер 2.67, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.67. Докажите, что если фигура имеет два разных центра симметрии, то она имеет бесконечно много центров симметрии.

Пусть $F$ — это фигура на плоскости, которая имеет два различных центра симметрии, $O_1$ и $O_2$. Это означает, что для любой точки $A$, принадлежащей фигуре $F$, точки, симметричные ей относительно $O_1$ и $O_2$, также принадлежат $F$.

Обозначим центральную симметрию относительно точки $O$ как $S_O$. Условие, что $O$ является центром симметрии фигуры $F$, записывается как $S_O(F) = F$. Таким образом, по условию задачи мы имеем $S_{O_1}(F) = F$ и $S_{O_2}(F) = F$, где $O_1 \neq O_2$.

Центральную симметрию можно описать с помощью векторов. Если $\vec{a}$ — радиус-вектор точки $A$, а $\vec{o}$ — радиус-вектор центра симметрии $O$, то радиус-вектор симметричной точки $A'$ будет равен $\vec{a'} = 2\vec{o} - \vec{a}$.

Рассмотрим композицию двух преобразований симметрии: $T = S_{O_2} \circ S_{O_1}$. Применим это составное преобразование к фигуре $F$:$T(F) = (S_{O_2} \circ S_{O_1})(F) = S_{O_2}(S_{O_1}(F))$.Поскольку $S_{O_1}(F) = F$, то $S_{O_2}(S_{O_1}(F)) = S_{O_2}(F)$.А так как $S_{O_2}(F) = F$, то мы получаем, что $T(F) = F$. Это означает, что фигура $F$ переходит в себя под действием преобразования $T$.

Выясним, что представляет собой преобразование $T$. Пусть $A$ — произвольная точка с радиус-вектором $\vec{a}$.Первое преобразование, $S_{O_1}$, переводит $A$ в точку $A'$ с радиус-вектором $\vec{a'} = 2\vec{o_1} - \vec{a}$.Второе преобразование, $S_{O_2}$, переводит точку $A'$ в точку $A''$ с радиус-вектором $\vec{a''} = 2\vec{o_2} - \vec{a'}$.Подставим выражение для $\vec{a'}$:$\vec{a''} = 2\vec{o_2} - (2\vec{o_1} - \vec{a}) = \vec{a} + 2(\vec{o_2} - \vec{o_1})$.Разность $\vec{a''} - \vec{a} = 2(\vec{o_2} - \vec{o_1})$ является постоянным вектором, не зависящим от точки $A$. Обозначим этот вектор как $\vec{v} = 2\vec{O_1O_2}$. Таким образом, преобразование $T$ является параллельным переносом на вектор $\vec{v}$. Поскольку $O_1 \neq O_2$, вектор $\vec{v}$ не является нулевым.

Итак, мы доказали, что фигура $F$ инвариантна относительно параллельного переноса $T_{\vec{v}}$ на вектор $\vec{v} = 2\vec{O_1O_2}$. Это также означает, что фигура инвариантна относительно любого кратного переноса $T_{n\vec{v}}$ на вектор $n\vec{v}$ для любого целого числа $n \in \mathbb{Z}$, так как $T_{n\vec{v}} = (T_{\vec{v}})^n$.

Теперь покажем, как построить новые центры симметрии. Возьмем один из исходных центров, например $O_1$, и докажем, что точка $O_3$, полученная из $O_1$ сдвигом на вектор $\vec{v}$, также является центром симметрии. То есть, $\vec{o_3} = \vec{o_1} + \vec{v}$.

Чтобы доказать, что $O_3$ — центр симметрии, нужно показать, что $S_{O_3}(F) = F$.Рассмотрим преобразование $S_{O_3}$. Известно, что симметрия относительно точки $P'$ может быть получена из симметрии относительно точки $P$ с помощью переносов: $S_{P'} = T_{\vec{u}} \circ S_P \circ T_{-\vec{u}}$, где $\vec{u} = \vec{PP'}$.В нашем случае, $\vec{O_1O_3} = \vec{v}$, поэтому $S_{O_3} = T_{\vec{v}} \circ S_{O_1} \circ T_{-\vec{v}}$.Применим это преобразование к фигуре $F$:$S_{O_3}(F) = (T_{\vec{v}} \circ S_{O_1} \circ T_{-\vec{v}})(F) = T_{\vec{v}}(S_{O_1}(T_{-\vec{v}}(F)))$.Мы знаем, что $F$ инвариантна относительно переносов на $\vec{v}$ и $-\vec{v}$, поэтому $T_{-\vec{v}}(F)=F$.Тогда $S_{O_3}(F) = T_{\vec{v}}(S_{O_1}(F))$.Поскольку $O_1$ — центр симметрии, $S_{O_1}(F)=F$.Следовательно, $S_{O_3}(F) = T_{\vec{v}}(F) = F$.Это доказывает, что $O_3$ также является центром симметрии фигуры $F$.

Этот процесс можно продолжить. Для любого целого числа $n \in \mathbb{Z}$, рассмотрим точку $C_n$, заданную радиус-вектором $\vec{c_n} = \vec{o_1} + n\vec{v}$. Аналогично доказывается, что симметрия $S_{C_n} = T_{n\vec{v}} \circ S_{O_1} \circ T_{-n\vec{v}}$ оставляет фигуру $F$ на месте.Таким образом, все точки $C_n$ являются центрами симметрии.Поскольку вектор $\vec{v} = 2\vec{O_1O_2}$ ненулевой, все точки в последовательности $\{..., C_{-2}, C_{-1}, C_0, C_1, C_2, ...\}$, где $C_0=O_1$, различны. Эта последовательность образует бесконечное множество центров симметрии, расположенных на прямой, проходящей через точку $O_1$ параллельно вектору $\vec{O_1O_2}$.

Таким образом, мы доказали, что если фигура имеет два различных центра симметрии, то она обладает бесконечным множеством центров симметрии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Наличие у фигуры двух различных центров симметрии $O_1$ и $O_2$ влечет за собой ее инвариантность относительно параллельного переноса на вектор $\vec{v} = 2\vec{O_1O_2}$. Это, в свою очередь, позволяет сгенерировать бесконечное множество новых центров симметрии вида $O_1 + n\vec{v}$ и $O_2 + n\vec{v}$ для всех целых чисел $n$.