Номер 2.63, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.63. Две взаимно перпендикулярные прямые проходят через центр квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, ограниченные сторонами квадрата, равны между собой.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом поворота или, что эквивалентно, докажем равенство определённых треугольников. Пусть дан квадрат $ABCD$ с центром в точке $O$. Пусть прямая $l_1$ пересекает стороны квадрата в точках $M$ и $N$, а перпендикулярная ей прямая $l_2$ — в точках $P$ и $Q$. Обе прямые проходят через центр $O$.

Докажем, что отрезки $MN$ и $PQ$ равны. Поскольку точка $O$ является центром симметрии квадрата, она делит отрезки $MN$ и $PQ$ пополам. Таким образом, $MN = 2 \cdot OM$ и $PQ = 2 \cdot OP$. Для доказательства равенства $MN = PQ$ достаточно доказать, что $OM = OP$.
Рассмотрим треугольники $\triangle OBM$ и $\triangle OCP$. (На рисунке показан случай, когда M лежит на BC, а P - на CD, но доказательство аналогично для любого расположения прямых). Давайте придерживаться обозначений на рисунке: докажем равенство треугольников $\triangle OBM$ (где $M \in BC$) и $\triangle OCP$ (где $P \in CD$).
1. $OB = OC$ как половины равных диагоналей квадрата.
2. Диагонали квадрата делят его углы пополам, поэтому $\angle OBC = \angle OCD = 45^\circ$. Поскольку точка $M$ лежит на стороне $BC$, то $\angle OBM = \angle OBC = 45^\circ$. Поскольку точка $P$ лежит на стороне $CD$, то $\angle OCP = \angle OCD = 45^\circ$. Следовательно, $\angle OBM = \angle OCP$.
3. Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, значит, угол между ними $\angle BOC = 90^\circ$. По условию задачи прямые $MN$ и $PQ$ также взаимно перпендикулярны, поэтому угол между ними $\angle MOP = 90^\circ$.
4. Угол $\angle BOC$ можно представить как сумму углов: $\angle BOC = \angle BOM + \angle MOC = 90^\circ$. Аналогично, угол $\angle MOP$ можно представить как $\angle MOP = \angle MOC + \angle COP = 90^\circ$. Из этих двух равенств следует, что $\angle BOM = \angle COP$.
Таким образом, в треугольниках $\triangle OBM$ и $\triangle OCP$ мы имеем:
• $\angle OBM = \angle OCP = 45^\circ$
• $OB = OC$
• $\angle BOM = \angle COP$
Следовательно, треугольники $\triangle OBM$ и $\triangle OCP$ равны по признаку ASA (угол-сторона-угол). Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих сторон: $OM = OP$.
Поскольку $MN = 2 \cdot OM$ и $PQ = 2 \cdot OP$, из равенства $OM=OP$ следует, что $MN = PQ$. Утверждение доказано.

Ответ: Равенство отрезков доказано. Наиболее элегантным способом доказательства является использование поворота на $90^\circ$ вокруг центра квадрата. При таком повороте квадрат переходит сам в себя, а первая прямая переходит во вторую (так как они перпендикулярны). Следовательно, отрезок первой прямой, ограниченный сторонами квадрата, переходит в отрезок второй прямой. Так как поворот является движением и сохраняет расстояния, длины этих отрезков равны.