Номер 2.59, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.59. Является ли шестиугольник, имеющий центр симметрии, правильным? Обоснуйте ответ.

Нет, шестиугольник, имеющий центр симметрии, не обязательно является правильным.

Обоснуем этот ответ. Правильный шестиугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Условие наличия центра симметрии является более слабым и не гарантирует выполнение этих двух условий одновременно.

Если шестиугольник $ABCDEF$ имеет центр симметрии $O$, это означает, что для каждой его вершины существует симметричная ей относительно точки $O$ вершина. В шестиугольнике это значит, что вершины симметричны попарно: $A$ симметрична $D$, $B$ симметрична $E$, а $C$ симметрична $F$. Из этого следуют следующие свойства:

1. Противоположные стороны равны и параллельны: $AB = DE$ и $AB \parallel DE$; $BC = EF$ и $BC \parallel EF$; $CD = FA$ и $CD \parallel FA$.

2. Противоположные углы равны: $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle E$, $\angle C = \angle F$.

Для того чтобы шестиугольник был правильным, необходимо, чтобы все стороны были равны между собой ($AB = BC = CD = DE = EF = FA$) и все углы были равны между собой ($\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = \angle E = \angle F$). Как мы видим, из наличия центра симметрии следует лишь попарное равенство противолежащих сторон и углов, но не равенство всех сторон и всех углов между собой.

Чтобы доказать, что не всякий шестиугольник с центром симметрии является правильным, достаточно привести один пример (контрпример) такого шестиугольника.

Рассмотрим шестиугольник, показанный на рисунке ниже. Его главные диагонали $AD$, $BE$ и $CF$ пересекаются в одной точке $O$, которая является их серединой. Следовательно, этот шестиугольник имеет центр симметрии $O$.

Однако, как видно из рисунка, данный шестиугольник не является правильным. Например, сторона $BC$ очевидно не равна по длине стороне $CD$. Также не все углы равны: например, угол при вершине $B$ (тупой) не равен углу при вершине $C$ (также тупой, но, в общем случае, другого значения). Поскольку не все стороны и не все углы равны, этот шестиугольник не является правильным.

Таким образом, мы показали, что существует шестиугольник с центром симметрии, который не является правильным.

Ответ: Нет, шестиугольник, имеющий центр симметрии, не обязательно является правильным.