Номер 2.52, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.52. Докажите, что при движении:

1) параллелограмм отображается в параллелограмм;

2) трапеция – в трапецию;

3) ромб – в ромб;

4) прямоугольник – в прямоугольник;

5) квадрат – в квадрат.

Для доказательства всех утверждений воспользуемся основными свойствами движения (изометрии). Движение — это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между точками. Из этого следуют другие важные свойства: движение сохраняет длины отрезков, величины углов, а также параллельность прямых.

1) параллелограмм отображается в параллелограмм

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По определению, его противолежащие стороны попарно параллельны: $AB \parallel DC$ и $BC \parallel AD$. Движение сохраняет параллельность прямых. Пусть при движении точки $A, B, C, D$ переходят в точки $A', B', C', D'$ соответственно. Тогда образом прямой $AB$ будет прямая $A'B'$, а образом прямой $DC$ — прямая $D'C'$. Поскольку $AB \parallel DC$, их образы также будут параллельны: $A'B' \parallel D'C'$. Аналогично, из $BC \parallel AD$ следует, что $B'C' \parallel A'D'$. В полученном четырехугольнике $A'B'C'D'$ противолежащие стороны попарно параллельны, следовательно, $A'B'C'D'$ является параллелограммом по определению.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) трапеция – в трапецию

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По определению трапеции, две ее стороны параллельны ($AD \parallel BC$), а две другие — не параллельны ($AB \nparallel DC$). Движение сохраняет параллельность прямых. Следовательно, образы оснований, прямые $A'D'$ и $B'C'$, будут параллельны: $A'D' \parallel B'C'$. Движение также сохраняет и непараллельность прямых. Если предположить, что образы непараллельных сторон $A'B'$ и $D'C'$ стали параллельны, то и их прообразы $AB$ и $DC$ должны были быть параллельны, что противоречит определению трапеции. Значит, $A'B' \nparallel D'C'$. В полученном четырехугольнике $A'B'C'D'$ две стороны параллельны, а две другие — нет. Следовательно, $A'B'C'D'$ является трапецией по определению.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) ромб – в ромб

Пусть дан ромб $ABCD$. По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны: $AB = BC = CD = DA$. Из пункта 1 следует, что при движении образ ромба, четырехугольник $A'B'C'D'$, является параллелограммом. Движение сохраняет расстояния, поэтому длины сторон образа равны длинам соответствующих сторон прообраза: $A'B' = AB$, $B'C' = BC$, $C'D' = CD$, $D'A' = DA$. Так как у исходного ромба $ABCD$ все стороны были равны, то и у его образа $A'B'C'D'$ все стороны будут равны между собой: $A'B' = B'C' = C'D' = D'A'$. Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Следовательно, $A'B'C'D'$ — ромб.

Ответ: Что и требовалось доказать.

4) прямоугольник – в прямоугольник

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. По определению, прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$. Из пункта 1 следует, что образ прямоугольника, четырехугольник $A'B'C'D'$, является параллелограммом. Движение сохраняет величины углов, поэтому углы образа равны соответствующим углам прообраза: $\angle A' = \angle A = 90^\circ$, $\angle B' = \angle B = 90^\circ$, $\angle C' = \angle C = 90^\circ$ и $\angle D' = \angle D = 90^\circ$. Таким образом, $A'B'C'D'$ — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Следовательно, $A'B'C'D'$ является прямоугольником по определению.

Ответ: Что и требовалось доказать.

5) квадрат – в квадрат

Пусть дан квадрат $ABCD$. Квадрат — это правильный четырехугольник, то есть у него все стороны равны и все углы прямые. Таким образом, он является одновременно и ромбом, и прямоугольником. При движении квадрат $ABCD$ отображается в четырехугольник $A'B'C'D'$.
Согласно доказанному в пункте 3, образ ромба является ромбом, значит $A'B'C'D'$ имеет равные стороны.
Согласно доказанному в пункте 4, образ прямоугольника является прямоугольником, значит $A'B'C'D'$ имеет прямые углы.
Четырехугольник, который одновременно является ромбом и прямоугольником, — это квадрат. Следовательно, $A'B'C'D'$ — квадрат.
Можно также доказать напрямую: движение сохраняет длины сторон и величины углов. Так как у квадрата $ABCD$ все стороны равны ($AB=BC=CD=DA$) и все углы прямые ($\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^\circ$), то у его образа $A'B'C'D'$ также будут все стороны равны ($A'B'=B'C'=C'D'=D'A'$) и все углы прямые ($\angle A'=\angle B'=\angle C'=\angle D'=90^\circ$). Четырехугольник с такими свойствами является квадратом.

Ответ: Что и требовалось доказать.