Практическая работа, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Вырежьте из цветной бумаги равные между собой фигуры.

а) Две из них расположите так, чтобы одна переходила в другую с помощью:

1) центральной симметрии;

2) осевой симметрии;

3) преобразования поворота;

4) параллельного переноса.

б) Как показано на рисунке 2.16, три из них расположите так, чтобы можно было применить:

1) поворот и центральную симметрию;

2) поворот и осевую симметрию;

3) поворот и параллельный перенос;

4) параллельный перенос и осевую симметрию;

5) параллельный перенос и центральную симметрию.

Для решения задачи мы будем использовать в качестве примера произвольную несимметричную фигуру — прямоугольный треугольник. Все преобразования будут показаны наглядно с помощью рисунков.

а)

Возьмем две равные фигуры (два равных треугольника) $F_1$ и $F_2$.

1) центральной симметрии;

Центральная симметрия – это преобразование, при котором каждая точка фигуры $F_1$ переходит в точку фигуры $F_2$, симметричную ей относительно заданного центра симметрии $O$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно центра $O$, если $O$ является серединой отрезка $AA'$. Центральная симметрия эквивалентна повороту на $180^\circ$ вокруг центра симметрии. На рисунке фигура $F_2$ получена из фигуры $F_1$ центральной симметрией относительно точки $O$.

Ответ: Фигуры $F_1$ и $F_2$ расположены так, что одна является образом другой при центральной симметрии относительно точки $O$.

2) осевой симметрии;

Осевая симметрия – это преобразование, при котором каждая точка фигуры $F_1$ переходит в точку фигуры $F_2$, симметричную ей относительно заданной оси симметрии $l$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно оси $l$, если отрезок $AA'$ перпендикулярен оси $l$ и делится ею пополам. Фигура $F_2$ является "зеркальным отражением" фигуры $F_1$. На рисунке фигура $F_2$ получена из фигуры $F_1$ осевой симметрией относительно прямой $l$.

Ответ: Фигуры $F_1$ и $F_2$ расположены так, что одна является образом другой при осевой симметрии относительно прямой $l$.

3) преобразования поворота;

Поворот – это преобразование, при котором каждая точка фигуры $F_1$ поворачивается на один и тот же угол $\alpha$ вокруг заданного центра поворота $O$. При этом расстояние от любой точки до центра поворота сохраняется. На рисунке фигура $F_2$ получена из фигуры $F_1$ поворотом на угол $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки $O$.

Ответ: Фигура $F_2$ получена из фигуры $F_1$ поворотом вокруг центра $O$ на угол $90^\circ$.

4) параллельного переноса.

Параллельный перенос – это преобразование, при котором все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это движение задается вектором $\vec{a}$. Каждая точка $A$ фигуры $F_1$ переходит в точку $A'$ фигуры $F_2$ так, что вектор $\vec{AA'} = \vec{a}$. На рисунке фигура $F_2$ получена из фигуры $F_1$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$.

Ответ: Фигура $F_2$ получена из фигуры $F_1$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$.

б)

Расположим три равные фигуры $F_1, F_2$ и $F_3$ так, чтобы между ними можно было установить указанные в задании отношения. "Применить" преобразование означает, что одна из фигур может быть получена из другой с помощью этого преобразования.

1) поворот и центральную симметрию;

Расположим фигуры так, чтобы $F_2$ была получена из $F_1$ поворотом, а $F_3$ — из $F_1$ центральной симметрией. Поскольку центральная симметрия является частным случаем поворота (на $180^\circ$), можно было бы показать только один такой поворот. Однако для наглядности покажем два разных преобразования: поворот на $90^\circ$ и центральную симметрию.

Ответ: Фигура $F_2$ получена из $F_1$ поворотом на $90^\circ$ вокруг центра $O_1$. Фигура $F_3$ получена из $F_1$ центральной симметрией относительно центра $O_2$.

2) поворот и осевую симметрию;

Расположим фигуры так, чтобы $F_2$ была получена из $F_1$ поворотом, а $F_3$ — из $F_1$ осевой симметрией. На рисунке $F_2$ получена из $F_1$ поворотом вокруг точки $O$ на $90^\circ$, а $F_3$ — симметрией $F_1$ относительно оси $l$.

Ответ: В данном расположении $F_2$ является результатом поворота $F_1$ относительно $O$, а $F_3$ — результатом осевой симметрии $F_1$ относительно прямой $l$.

3) поворот и параллельный перенос;

Расположим фигуры так, чтобы $F_2$ была получена из $F_1$ поворотом, а $F_3$ — из $F_1$ параллельным переносом. На рисунке $F_2$ получена из $F_1$ поворотом вокруг точки $O$, а $F_3$ — параллельным переносом $F_1$ на вектор $\vec{a}$.

Ответ: В данном расположении $F_2$ — результат поворота $F_1$ относительно $O$, а $F_3$ — результат параллельного переноса $F_1$ на вектор $\vec{a}$.

4) параллельный перенос и осевую симметрию;

Расположим фигуры так, чтобы $F_2$ была получена из $F_1$ параллельным переносом, а $F_3$ — из $F_1$ осевой симметрией. Такое расположение часто встречается в орнаментах. Комбинация этих двух преобразований (когда ось симметрии параллельна вектору переноса) называется скользящей симметрией.

Ответ: Фигура $F_2$ получена из $F_1$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$, а фигура $F_3$ — осевой симметрией $F_1$ относительно прямой $l$.

5) параллельный перенос и центральную симметрию.

Расположим фигуры так, чтобы $F_2$ была получена из $F_1$ параллельным переносом, а $F_3$ — из $F_1$ центральной симметрией.

Ответ: Фигура $F_2$ получена из $F_1$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$, а фигура $F_3$ — центральной симметрией $F_1$ относительно точки $O$.