Номер 2.20, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.20. Даны попарно пересекающиеся прямые $a$, $b$, $c$, которые не проходят через одну точку. Постройте отрезок, который перпендикулярен прямой $b$ и середина которого лежит на прямой $b$, а концы — на прямых $a$ и $c$. Всегда ли задача имеет решение?

Построение отрезка

Анализ

Пусть искомый отрезок — это $AC$, где точка $A$ лежит на прямой $a$, а точка $C$ — на прямой $c$. Обозначим середину отрезка $AC$ через $M$. Согласно условиям задачи: 1. Точка $M$ лежит на прямой $b$. 2. Отрезок $AC$ перпендикулярен прямой $b$ ($AC \perp b$).

Из этих двух условий следует, что прямая $b$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$. Это по определению означает, что точки $A$ и $C$ симметричны относительно прямой $b$.

Обозначим осевую симметрию относительно прямой $b$ как $R_b$. Тогда $C = R_b(A)$. Поскольку точка $A$ принадлежит прямой $a$ ($A \in a$), ее образ $C$ должен принадлежать образу прямой $a$ при этой симметрии. Обозначим образ прямой $a$ как $a'$, то есть $a' = R_b(a)$. Следовательно, $C \in a'$. С другой стороны, по условию задачи точка $C$ также принадлежит прямой $c$ ($C \in c$). Таким образом, точка $C$ является точкой пересечения прямых $c$ и $a'$. Найдя точку $C$, мы можем построить точку $A$ как симметричную ей относительно прямой $b$.

Построение

1. Строим прямую $a'$, симметричную прямой $a$ относительно прямой $b$. Для этого можно взять две произвольные точки на прямой $a$, построить их образы при симметрии относительно $b$ и провести через них прямую $a'$.

2. Находим точку $C$, которая является пересечением прямой $c$ и построенной прямой $a'$.

3. Строим точку $A$ как образ точки $C$ при симметрии относительно прямой $b$. Это можно сделать, опустив из $C$ перпендикуляр на прямую $b$, и на его продолжении отложить отрезок, равный расстоянию от $C$ до $b$.

4. Соединяем точки $A$ и $C$. Отрезок $AC$ является искомым.

Доказательство

По построению, точка $C$ лежит на прямой $c$ (как точка пересечения $c$ и $a'$) и на прямой $a'$. Точка $A$ построена как симметричная $C$ относительно $b$. Так как $C \in a'$, то ее прообраз $A$ лежит на прообразе прямой $a'$, то есть на прямой $a$. Таким образом, концы отрезка $AC$ лежат на прямых $a$ и $c$. По свойству осевой симметрии, прямая $b$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$, соединяющему точку $C$ и ее образ $A$. Это означает, что отрезок $AC$ перпендикулярен прямой $b$, и его середина лежит на прямой $b$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: Алгоритм построения и его доказательство представлены выше.

Всегда ли задача имеет решение?

Решение задачи, как видно из алгоритма построения, зависит от существования и единственности точки пересечения $C$ прямых $c$ и $a' = R_b(a)$. Возможны три случая для взаимного расположения прямых $c$ и $a'$ на плоскости:

1. Прямые $c$ и $a'$ пересекаются в одной точке. Это происходит, когда они не параллельны. В этом случае задача имеет единственное решение. Это наиболее общий случай.

2. Прямые $c$ и $a'$ параллельны, но не совпадают ($c \parallel a', c \neq a'$). В этом случае у них нет общих точек, точку $C$ построить невозможно. Следовательно, задача не имеет решения. Это происходит, когда прямая $c$ и отраженная прямая $a'$ имеют одинаковый наклон, но не совпадают. Геометрически это означает, что прямые $a$ и $c$ образуют с прямой $b$ углы одинаковой величины, но разной ориентации, и при этом прямая $c$ не является точным отражением прямой $a$ относительно $b$.

3. Прямые $c$ и $a'$ совпадают ($c = a'$). В этом случае любая точка на прямой $c$ может быть выбрана в качестве точки $C$, что приведет к бесконечному множеству решений. Это происходит, когда прямая $c$ является образом прямой $a$ при симметрии относительно прямой $b$.

Таким образом, задача имеет решение не всегда. Оно существует, если прямая $c$ не параллельна образу прямой $a$ при симметрии относительно $b$.

Ответ: Нет, задача не всегда имеет решение. Решения не существует, если прямая $c$ параллельна, но не совпадает с прямой, симметричной $a$ относительно $b$. Если же прямая $c$ совпадает с симметричной прямой $a$ относительно $b$, то решений бесконечно много.