Номер 2.19, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.19. Даны две пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на них. Постройте отрезок, концы которого лежат на данных прямых и данная точка является его серединой.

Для решения этой задачи используется метод геометрических преобразований, а именно — центральная симметрия.

Анализ

Пусть даны две пересекающиеся прямые $l_1$ и $l_2$, и точка $M$, не лежащая на них. Требуется построить отрезок $AB$ такой, что его концы лежат на данных прямых ($A \in l_1$ и $B \in l_2$), а точка $M$ является его серединой.

Из условия, что $M$ — середина отрезка $AB$, следует, что точки $A$ и $B$ симметричны относительно точки $M$. Обозначим центральную симметрию с центром в точке $M$ как $S_M$. Тогда $B = S_M(A)$ и $A = S_M(B)$.

Точка $A$ по условию принадлежит прямой $l_1$. При симметрии $S_M$ каждая точка прямой $l_1$ переходит в точку на некоторой новой прямой $l'_1$, которая является образом прямой $l_1$. Таким образом, точка $B$, будучи образом точки $A$, должна принадлежать прямой $l'_1 = S_M(l_1)$. Известно, что образом прямой при центральной симметрии является прямая, параллельная данной.

Таким образом, для искомой точки $B$ выполняются два условия:

1. Точка $B$ принадлежит прямой $l_2$ (согласно условию задачи).
2. Точка $B$ принадлежит прямой $l'_1$ (так как является образом точки с прямой $l_1$).

Следовательно, точка $B$ является точкой пересечения прямых $l_2$ и $l'_1$. Поскольку прямая $l_1$ пересекает $l_2$, то и параллельная ей прямая $l'_1$ также будет пересекать $l_2$, причем в единственной точке. Найдя точку $B$, можно однозначно определить положение точки $A$ как точки, симметричной $B$ относительно $M$.

Построение

На основе проведенного анализа можно составить следующий алгоритм построения:

1. На прямой $l_1$ выбираем произвольную точку $P$.
2. Строим точку $P'$, симметричную точке $P$ относительно $M$. Для этого проводим луч $PM$ и с помощью циркуля откладываем на нем за точкой $M$ отрезок $MP'$, равный отрезку $PM$.
3. Через точку $P'$ проводим прямую $l'_1$, параллельную прямой $l_1$.
4. Находим точку пересечения прямой $l'_1$ и прямой $l_2$. Обозначаем ее $B$. Это один из концов искомого отрезка.
5. Соединяем точки $B$ и $M$ и продолжаем за точку $M$. На этой прямой откладываем отрезок $MA$, равный отрезку $BM$. Точка $A$ — второй конец искомого отрезка.
6. Отрезок $AB$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный отрезок $AB$ удовлетворяет всем условиям задачи.

• Точка $B$ лежит на прямой $l_2$ по построению (шаг 4).
• Точка $M$ является серединой отрезка $AB$, так как точка $A$ построена симметрично точке $B$ относительно $M$ (шаг 5).
• Необходимо доказать, что точка $A$ лежит на прямой $l_1$. Точка $B$ принадлежит прямой $l'_1$ (по построению). Прямая $l'_1$ является образом прямой $l_1$ при симметрии $S_M$. Поскольку $A = S_M(B)$ и $B \in l'_1 = S_M(l_1)$, то прообраз точки $B$, то есть точка $A$, должен принадлежать прообразу прямой $l'_1$, то есть прямой $l_1$. Следовательно, $A \in l_1$.

Все условия задачи выполнены.

Исследование

Поскольку исходные прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются, они не параллельны. Прямая $l'_1$ строится параллельно $l_1$, следовательно, $l'_1$ также не параллельна $l_2$. Две непараллельные прямые на плоскости всегда пересекаются в одной и только одной точке. Это означает, что точка $B$ всегда существует и единственна. Соответственно, точка $A$ также определяется однозначно. Таким образом, задача всегда имеет единственное решение.

Ответ: Искомый отрезок строится следующим образом: 1. Строится прямая $l'_1$, симметричная прямой $l_1$ относительно данной точки $M$. 2. Находится точка $B$ как пересечение прямых $l_2$ и $l'_1$. 3. Находится точка $A$, симметричная точке $B$ относительно точки $M$. Отрезок $AB$ является решением.