Номер 2.15, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.15. Докажите, что четырехугольник, имеющий центр симметрии, является параллелограммом.

Пусть $ABCD$ — четырехугольник, имеющий центр симметрии $O$.

По определению центра симметрии, для любой точки $P$ фигуры точка $P'$, симметричная ей относительно центра $O$, также принадлежит этой фигуре. Точка $O$ при этом является серединой отрезка $PP'$.

Центральная симметрия является движением (изометрией), поэтому она переводит вершины многоугольника в вершины. Рассмотрим вершину $A$. Ее симметричный образ $A'$ относительно точки $O$ также должен быть одной из вершин четырехугольника $B$, $C$ или $D$.

Образ вершины $A$ не может совпадать со смежной вершиной ($B$ или $D$). Если предположить, что вершина $A$ симметрична вершине $B$ относительно $O$, то $O$ будет серединой стороны $AB$. Тогда при симметрии относительно $O$ вся сторона $AB$ перейдет сама в себя. Противоположная ей сторона $CD$ также должна переходить сама в себя, а значит, $O$ должна быть и ее серединой. Это означало бы, что отрезки $AB$ и $CD$ лежат на одной прямой, что противоречит определению невырожденного четырехугольника.

Следовательно, образом вершины $A$ при симметрии относительно $O$ может быть только противолежащая вершина $C$. Это означает, что точка $O$ является серединой диагонали $AC$, то есть $AO = OC$.

Аналогично, образом вершины $B$ при симметрии относительно $O$ может быть только противолежащая вершина $D$. Это означает, что точка $O$ является серединой диагонали $BD$, то есть $BO = OD$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждой из них.

Согласно признаку параллелограмма, четырехугольник, у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.