Номер 2.18, страница 76 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.18. Докажите, что точка пересечения двух взаимно перпендикулярных осей симметрии фигуры является центром симметрии этой фигуры.

Пусть дана фигура $F$, у которой есть две взаимно перпендикулярные оси симметрии $l_1$ и $l_2$. Пусть точка $O$ является точкой их пересечения, то есть $O = l_1 \cap l_2$. Нам необходимо доказать, что точка $O$ является центром симметрии фигуры $F$.

Центр симметрии фигуры — это такая точка, относительно которой симметрична каждая точка фигуры. Иными словами, если точка $A$ принадлежит фигуре $F$, то и точка $A'$, симметричная $A$ относительно центра $O$, также должна принадлежать фигуре $F$. Симметрия относительно точки $O$ (центральная симметрия) эквивалентна повороту на $180^\circ$ вокруг точки $O$.

Доказательство можно провести, используя свойства осевой симметрии.

1. Обозначим осевую симметрию относительно прямой $l_1$ как $S_{l_1}$, а относительно прямой $l_2$ — как $S_{l_2}$.

2. Возьмем произвольную точку $A$, принадлежащую фигуре $F$ (записывается как $A \in F$).

3. Так как $l_1$ является осью симметрии фигуры $F$, то точка $A_1 = S_{l_1}(A)$, симметричная точке $A$ относительно $l_1$, также принадлежит фигуре $F$. То есть $A_1 \in F$.

4. Теперь рассмотрим точку $A_1$. Так как $l_2$ также является осью симметрии фигуры $F$, а точка $A_1$ принадлежит $F$, то точка $A' = S_{l_2}(A_1)$, симметричная точке $A_1$ относительно $l_2$, тоже должна принадлежать фигуре $F$. То есть $A' \in F$.

5. Таким образом, для любой точки $A \in F$ мы получаем, что точка $A' = S_{l_2}(S_{l_1}(A))$ также принадлежит $F$.

6. В геометрии известно, что композиция (последовательное применение) двух осевых симметрий с перпендикулярными осями $l_1$ и $l_2$ является центральной симметрией относительно точки пересечения этих осей $O$. То есть преобразование $T(A) = S_{l_2}(S_{l_1}(A))$ есть не что иное, как центральная симметрия с центром в точке $O$.

7. Следовательно, для любой точки $A$ фигуры $F$ точка $A'$, симметричная ей относительно точки $O$, также принадлежит фигуре $F$. Это в точности соответствует определению центра симметрии.

Таким образом, точка пересечения двух взаимно перпендикулярных осей симметрии является центром симметрии фигуры.

Этот процесс можно наглядно представить на рисунке:

Доказательство методом координат

Для большей строгости можно использовать метод координат. Введем декартову систему координат так, чтобы точка пересечения осей $O$ совпала с началом координат $(0, 0)$, а сами оси симметрии $l_1$ и $l_2$ совпали с осями координат. Пусть $l_1$ — это ось абсцисс (ось $Ox$), а $l_2$ — ось ординат (ось $Oy$).

1. Пусть $A(x, y)$ — произвольная точка, принадлежащая фигуре $F$.

2. Так как ось $Ox$ ($l_1$) является осью симметрии, то точка, симметричная $A$ относительно оси $Ox$, также принадлежит $F$. Координаты этой точки $A_1$ будут $(x, -y)$. Итак, $A_1(x, -y) \in F$.

3. Так как ось $Oy$ ($l_2$) является осью симметрии, а точка $A_1(x, -y)$ принадлежит $F$, то точка, симметричная $A_1$ относительно оси $Oy$, также принадлежит $F$. Координаты этой новой точки $A'$ будут $(-x, -y)$. Итак, $A'(-x, -y) \in F$.

4. Мы получили, что если точка $A(x, y)$ принадлежит фигуре $F$, то и точка $A'(-x, -y)$ также принадлежит $F$.

5. Точки $A(x, y)$ и $A'(-x, -y)$ являются симметричными относительно начала координат $O(0, 0)$, поскольку середина отрезка $AA'$ имеет координаты $\left(\frac{x + (-x)}{2}, \frac{y + (-y)}{2}\right) = (0, 0)$.

6. Это доказывает, что точка $O$ является центром симметрии фигуры $F$.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения двух взаимно перпендикулярных осей симметрии фигуры действительно является центром симметрии этой фигуры, так как последовательное применение двух осевых симметрий относительно перпендикулярных прямых эквивалентно центральной симметрии относительно точки их пересечения.