Номер 2.28, страница 80 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.28. Даны точка $O$ и прямая $m$. Постройте прямую $m'$, которая получается поворотом прямой $m$ около точки $O$ (против хода часовой стрелки) на $60^\circ$. Рассмотрите случай:

1) $O \notin m$;

2) $O \in m$.

1) $O \notin m$

Поскольку поворот является движением (изометрией), образом прямой при повороте будет прямая. Для построения искомой прямой $m'$ можно использовать следующий алгоритм:
1. Из центра поворота, точки $O$, опускаем перпендикуляр на прямую $m$. Точку их пересечения (основание перпендикуляра) обозначим $H$.
2. Выполняем поворот точки $H$ вокруг точки $O$ на угол $60°$ против часовой стрелки. Для этого строим угол $\angle HOH'$, равный $60°$, и на луче $OH'$ откладываем отрезок $OH'$, равный по длине отрезку $OH$. Получаем точку $H'$.
3. Поворот сохраняет углы. Так как исходная прямая $m$ была перпендикулярна отрезку $OH$ (по построению), то повернутая прямая $m'$ будет перпендикулярна повернутому отрезку $OH'$.
4. Проводим через точку $H'$ прямую $m'$, перпендикулярную отрезку $OH'$. Эта прямая и является искомой.

Ответ: Прямая $m'$ строится как перпендикуляр к отрезку $OH'$ в точке $H'$, где $H'$ — это образ точки $H$ (основания перпендикуляра из $O$ на $m$) при повороте вокруг $O$ на $60°$ против часовой стрелки.

2) $O \in m$

Если центр поворота $O$ лежит на прямой $m$, то при повороте точка $O$ отображается сама в себя, то есть является неподвижной. Это значит, что повернутая прямая $m'$ также будет проходить через точку $O$. Угол между исходной прямой $m$ и повернутой прямой $m'$ будет равен углу поворота, то есть $60°$.
Алгоритм построения:
1. На прямой $m$ выбираем любую точку $A$, не совпадающую с точкой $O$.
2. Выполняем поворот точки $A$ вокруг центра $O$ на угол $60°$ против часовой стрелки. В результате получаем точку $A'$.
3. Проводим прямую через точки $O$ и $A'$. Эта прямая и есть искомая прямая $m'$.

Ответ: Прямая $m'$ строится как прямая, проходящая через точку $O$ и точку $A'$, где $A'$ — это образ любой точки $A \in m$ ($A \neq O$) при повороте вокруг $O$ на $60°$ против часовой стрелки.