Номер 2.35, страница 80 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.35. Данную окружность повернули около точки А, лежащей на ней, на $120^\circ$ в двух направлениях. Каково взаимное расположение данной окружности и ее образов?

Решение:

Пусть дана окружность $C$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ лежит на этой окружности, следовательно, расстояние от центра до этой точки равно радиусу: $OA = R$.

Окружность поворачивают вокруг точки $A$ на угол $120^\circ$ в двух направлениях. Поворот является движением, поэтому образами исходной окружности будут окружности того же радиуса $R$.

1. Пусть $C_1$ — образ окружности $C$ при повороте на $+120^\circ$ вокруг точки $A$. Центр этой окружности, точка $O_1$, является образом точки $O$. При повороте расстояния от центра вращения сохраняются, поэтому $AO_1 = AO = R$. Угол поворота составляет $\angle OAO_1 = 120^\circ$.

2. Пусть $C_2$ — образ окружности $C$ при повороте на $-120^\circ$ вокруг точки $A$. Центр этой окружности, точка $O_2$, является образом точки $O$. Аналогично, $AO_2 = AO = R$ и $\angle OAO_2 = 120^\circ$.

Таким образом, мы имеем три окружности: исходную $C(O, R)$ и две ее образа $C_1(O_1, R)$ и $C_2(O_2, R)$. Все они имеют одинаковый радиус $R$.

Так как точка $A$ является центром вращения и лежит на исходной окружности, она остается неподвижной и принадлежит также и ее образам $C_1$ и $C_2$. Следовательно, все три окружности проходят через точку $A$.

Рассмотрим взаимное расположение центров $O, O_1, O_2$. Точки $O, O_1, O_2$ лежат на окружности с центром в точке $A$ и радиусом $R$. Углы между отрезками, соединяющими их с центром $A$, равны $120^\circ$: $\angle OAO_1 = 120^\circ$, $\angle OAO_2 = 120^\circ$. Соответственно, $\angle O_1AO_2$ также равен $120^\circ$ (либо $360^\circ - 120^\circ - 120^\circ = 120^\circ$).

Найдем расстояния между центрами, используя теорему косинусов для треугольника $\triangle OAO_1$: $OO_1^2 = AO^2 + AO_1^2 - 2 \cdot AO \cdot AO_1 \cdot \cos(\angle OAO_1)$ $OO_1^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ) = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2R^2 + R^2 = 3R^2$ Отсюда $OO_1 = R\sqrt{3}$.

Аналогичные вычисления для пар $(O, O_2)$ и $(O_1, O_2)$ дают тот же результат: $OO_2 = R\sqrt{3}$ и $O_1O_2 = R\sqrt{3}$. Следовательно, центры трех окружностей $O, O_1, O_2$ образуют равносторонний треугольник со стороной $R\sqrt{3}$.

Теперь определим точки пересечения окружностей.

Рассмотрим любую пару окружностей, например $C$ и $C_1$. Расстояние между их центрами $OO_1 = R\sqrt{3}$. Поскольку $R+R=2R$, а $0 < R\sqrt{3} < 2R$, эти окружности пересекаются в двух точках. Мы уже знаем, что одна из этих точек — $A$.

Аналогично, каждая пара окружностей ($C$ и $C_2$, $C_1$ и $C_2$) пересекается в двух точках, одна из которых всегда $A$.

Возникает вопрос: есть ли у всех трех окружностей вторая общая точка пересечения, кроме точки $A$?

Рассмотрим вторую точку пересечения окружностей $C$ и $C_1$, назовем ее $P_1$. Четырехугольник $OAO_1P_1$ является ромбом, так как все его стороны равны $R$ ($OA=O_1A=OP_1=O_1P_1=R$). Аналогично, вторая точка пересечения $C$ и $C_2$, назовем ее $P_2$, образует ромб $OAO_2P_2$. Вторая точка пересечения $C_1$ и $C_2$, назовем ее $P_3$, образует ромб $O_1AO_2P_3$.

Так как точки $O, O_1, O_2$ различны, то и вторые вершины этих ромбов ($P_1, P_2, P_3$) будут различными. Таким образом, у трех окружностей нет второй общей точки пересечения. Единственная общая точка для всех трех окружностей — это точка $A$.

Визуализация взаимного расположения окружностей представлена на рисунке ниже. Синяя окружность — исходная, красная и зеленая — ее образы.

Ответ: Данная окружность и два ее образа представляют собой три равные окружности. Все три окружности имеют одну и только одну общую точку — точку вращения $A$. Любые две из этих трех окружностей пересекаются в двух точках: в общей точке $A$ и еще в одной точке, которая не принадлежит третьей окружности. Центры этих трех окружностей являются вершинами равностороннего треугольника.