Номер 2.80, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.80. Принимая за центр гомотетии одну из вершин данного треугольника, постройте гомотетичный ему треугольник с коэффициентом подобия, равным $2$.

Гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k$ называется преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Для построения треугольника, гомотетичного данному треугольнику $ABC$ с центром в одной из его вершин (например, в вершине $A$) и коэффициентом подобия $k=2$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбор центра гомотетии.
Пусть дан треугольник $ABC$. Выберем вершину $A$ в качестве центра гомотетии.

2. Построение образов вершин.
Нужно построить образы вершин $A, B, C$ при гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $k=2$. Обозначим образы как $A', B', C'$.
- Образ вершины A: Так как вершина $A$ является центром гомотетии, она переходит сама в себя. То есть, $A' = A$. Это следует из определения: $\vec{AA'} = 2 \cdot \vec{AA} = 2 \cdot \vec{0} = \vec{0}$.
- Образ вершины B: Для нахождения точки $B'$ строим вектор $\vec{AB'} = 2 \cdot \vec{AB}$. Это означает, что точка $B'$ лежит на луче $AB$, а расстояние $AB'$ вдвое больше расстояния $AB$. Для построения нужно продлить отрезок $AB$ за точку $B$ и отложить на этом продолжении отрезок $BB'$, равный отрезку $AB$. Точка $B'$ будет искомым образом.
- Образ вершины C: Аналогично, для нахождения точки $C'$ строим вектор $\vec{AC'} = 2 \cdot \vec{AC}$. Продлеваем отрезок $AC$ за точку $C$ и откладываем на продолжении отрезок $CC'$, равный отрезку $AC$. Точка $C'$ будет образом точки $C$.

3. Построение искомого треугольника.
Соединяем полученные точки $A'$, $B'$, $C'$. Так как $A' = A$, искомый треугольник — это $\triangle AB'C'$.

Ниже представлен чертеж, иллюстрирующий построение. Синим цветом показан исходный треугольник $ABC$, а красным — построенный гомотетичный треугольник $AB'C'$.

Полученный треугольник $AB'C'$ подобен исходному треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия 2. Его стороны параллельны соответствующим сторонам исходного треугольника ($B'C' \parallel BC$) и в два раза длиннее их ($AB' = 2 \cdot AB$, $AC' = 2 \cdot AC$, $B'C' = 2 \cdot BC$).

Ответ:
Для построения гомотетичного треугольника с центром в вершине $A$ данного треугольника $ABC$ и коэффициентом $k=2$, необходимо:
1. На луче $AB$ отложить точку $B'$ так, чтобы $AB' = 2 \cdot AB$.
2. На луче $AC$ отложить точку $C'$ так, чтобы $AC' = 2 \cdot AC$.
3. Соединить точки $A$, $B'$ и $C'$. Полученный треугольник $AB'C'$ является искомым.