Номер 2.86, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.86. Острые углы двух прямоугольных треугольников равны. Докажите, что эти треугольники подобны.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ с прямым углом $C$ (то есть $\angle C = 90^\circ$) и $\triangle A_1B_1C_1$ с прямым углом $C_1$ (то есть $\angle C_1 = 90^\circ$).

По условию задачи, острые углы этих треугольников равны. Это означает, что один острый угол первого треугольника равен одному острому углу второго. Пусть равными острыми углами будут $\angle A$ и $\angle A_1$, то есть $\angle A = \angle A_1$.

Требуется доказать, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ подобны ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$).

Для доказательства воспользуемся первым признаком подобия треугольников (по двум углам). Этот признак гласит: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Проверим выполнение этого условия для наших треугольников:

1. $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$, так как оба треугольника по определению являются прямоугольными.

2. $\angle A = \angle A_1$, согласно условию задачи.

Таким образом, два угла треугольника $\triangle ABC$ ($\angle A$ и $\angle C$) равны двум соответствующим углам треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ ($\angle A_1$ и $\angle C_1$). Следовательно, по первому признаку подобия, эти треугольники подобны.

Кроме того, можно заметить, что и третья пара углов будет равна. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике всегда равна $90^\circ$. Отсюда для $\triangle ABC$ имеем $\angle B = 90^\circ - \angle A$, а для $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $\angle B_1 = 90^\circ - \angle A_1$. Поскольку $\angle A = \angle A_1$, то и $\angle B = \angle B_1$. Это означает, что все три угла одного треугольника равны трем углам другого, что является исчерпывающим условием подобия.

Ответ: Поскольку у двух прямоугольных треугольников есть по равному прямому углу и, по условию, по равному острому углу, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).