Номер 2.87, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.87. Какие данные и какое их количество необходимо задать, чтобы полностью определить гомотетию?

Для полного определения гомотетии необходимо и достаточно задать два элемента: центр гомотетии и коэффициент гомотетии.

Центр гомотетии — это неподвижная точка $O$, относительно которой происходит преобразование. Все прямые, проходящие через центр гомотетии, переходят в себя.

Коэффициент гомотетии — это действительное число $k$, не равное нулю ($k \neq 0$), которое определяет масштаб изменения и направление. Для любой точки $M$ плоскости (или пространства), отличной от центра $O$, её образ $M'$ при гомотетии лежит на прямой $OM$ и удовлетворяет векторному равенству: $ \vec{OM'} = k \cdot \vec{OM} $

Это равенство полностью определяет положение точки $M'$ для любой точки $M$.

В зависимости от значения коэффициента $k$ гомотетия имеет разный характер:
• Если $k > 0$, гомотетия называется прямой. Точка $M'$ лежит на луче $OM$. Направление от центра до образа совпадает с направлением от центра до прообраза.

• Если $k < 0$, гомотетия называется обратной. Точка $M'$ лежит на луче, дополнительном к лучу $OM$. Направление от центра до образа противоположно направлению от центра до прообраза.

• Если $|k| > 1$, расстояние от центра увеличивается (растяжение).
• Если $0 < |k| < 1$, расстояние от центра уменьшается (сжатие).
• Если $k = 1$, гомотетия является тождественным преобразованием (каждая точка переходит в себя).
• Если $k = -1$, гомотетия является центральной симметрией относительно центра $O$.

Таким образом, для задания гомотетии нужно указать ровно два объекта: точку и число.

Существуют и другие способы задания гомотетии, которые, однако, сводятся к определению центра и коэффициента:
1. Задание центра $O$ и пары соответствующих точек $A$ и $A'$ (где $A \neq O$). В этом случае коэффициент $k$ однозначно находится из отношения векторов $\vec{OA'}$ и $\vec{OA}$.
2. Задание двух пар соответствующих точек $(A, A')$ и $(B, B')$. Если гомотетия не является переносом ($k \neq 1$), то её центр $O$ является точкой пересечения прямых $AA'$ и $BB'$ (если они не параллельны), а коэффициент $k$ находится из векторного соотношения $\vec{A'B'} = k \cdot \vec{AB}$.

Тем не менее, наиболее фундаментальным и минимальным набором данных является именно центр и коэффициент.

Ответ: Чтобы полностью определить гомотетию, необходимо задать центр гомотетии (одну точку) и коэффициент гомотетии (одно число, не равное нулю).