Номер 2.81, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.81. Даны точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Постройте фигуру, подобную данной фигуре с коэффициентом подобия, равным:

а) 3;

б) 0,5.

Поскольку точки А, В и С не лежат на одной прямой, они образуют треугольник ABC. Задача состоит в построении треугольника A'B'C', подобного треугольнику ABC с заданным коэффициентом подобия $k$. Для этого используется геометрическое преобразование, называемое гомотетией или преобразованием подобия.

а) Построение фигуры с коэффициентом подобия $k=3$

Чтобы построить фигуру, подобную треугольнику ABC с коэффициентом $k=3$, выполним следующие шаги:

1. Выберем произвольную точку O, которая будет центром гомотетии. Её можно расположить в любом месте на плоскости (внутри, вне или на стороне треугольника). Для наглядности на рисунке ниже центр O выбран вне треугольника ABC.

2. Из центра O проведём лучи через каждую вершину треугольника: OA, OB и OC.

3. На каждом луче отложим от точки O новый отрезок, длина которого в 3 раза больше исходного. Так мы получим новые точки A', B' и C':
$OA' = 3 \cdot OA$
$OB' = 3 \cdot OB$
$OC' = 3 \cdot OC$
Точки A, B, C будут лежать на отрезках OA', OB', OC' соответственно.

4. Соединим точки A', B' и C' отрезками. Полученный треугольник A'B'C' и есть искомая фигура, подобная треугольнику ABC с коэффициентом 3.

Ответ: Искомая фигура — это треугольник A'B'C', полученный в результате гомотетии треугольника ABC с произвольно выбранным центром O и коэффициентом $k=3$.

б) Построение фигуры с коэффициентом подобия $k=0,5$

Построение аналогично предыдущему пункту, но с коэффициентом $k=0,5$.

1. Выберем произвольную точку O — центр гомотетии. Для наглядности на этот раз расположим её внутри треугольника ABC.

2. Соединим центр O отрезками с каждой вершиной треугольника: OA, OB и OC.

3. На каждом из этих отрезков найдем точки A', B' и C' так, чтобы их расстояние до центра O было равно половине расстояния от O до соответствующей вершины исходного треугольника. Фактически, новые точки будут серединами отрезков OA, OB и OC.
$OA' = 0,5 \cdot OA$
$OB' = 0,5 \cdot OB$
$OC' = 0,5 \cdot OC$

4. Соединим точки A', B' и C'. Полученный треугольник A'B'C' будет подобен треугольнику ABC с коэффициентом 0,5.

Ответ: Искомая фигура — это треугольник A'B'C', полученный в результате гомотетии треугольника ABC с произвольно выбранным центром O и коэффициентом $k=0,5$.