Номер 2.97, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.97. В заданном треугольнике проведены все средние линии. Покажите среди образованных таким образом треугольников подобные.

Пусть дан произвольный треугольник $\triangle ABC$. Проведем в нем все три средние линии. Пусть точки $D$, $E$ и $F$ являются серединами сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Средние линии $DE$, $EF$ и $FD$ делят исходный треугольник $\triangle ABC$ на четыре меньших треугольника: $\triangle ADF$, $\triangle DBE$, $\triangle FEC$ и центральный треугольник $\triangle DEF$.

Чтобы определить, какие из этих треугольников подобны, мы воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

1. Рассмотрим $\triangle ADF$ и $\triangle ABC$.

• Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
• Так как $D$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, то $AD = \frac{1}{2}AB$ и $AF = \frac{1}{2}AC$.
• Следовательно, отношения сторон, прилежащих к общему углу, равны: $\frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{1}{2}$.
• По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle ADF \sim \triangle ABC$.

2. Рассмотрим $\triangle DBE$ и $\triangle ABC$.

• Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
• Так как $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно, то $BD = \frac{1}{2}AB$ и $BE = \frac{1}{2}BC$.
• Отношения сторон, прилежащих к общему углу, равны: $\frac{BD}{AB} = \frac{BE}{BC} = \frac{1}{2}$.
• По второму признаку подобия треугольников, $\triangle DBE \sim \triangle ABC$.

3. Рассмотрим $\triangle FEC$ и $\triangle ABC$.

• Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.
• Так как $F$ и $E$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно, то $FC = \frac{1}{2}AC$ и $EC = \frac{1}{2}BC$.
• Отношения сторон, прилежащих к общему углу, равны: $\frac{FC}{AC} = \frac{EC}{BC} = \frac{1}{2}$.
• По второму признаку подобия треугольников, $\triangle FEC \sim \triangle ABC$.

4. Рассмотрим $\triangle DEF$ и $\triangle ABC$.

• Стороны треугольника $\triangle DEF$ являются средними линиями треугольника $\triangle ABC$.
• По свойству средней линии: $DF = \frac{1}{2}BC$, $DE = \frac{1}{2}AC$ и $EF = \frac{1}{2}AB$.
• Найдем отношения длин всех трёх сторон: $\frac{DF}{BC} = \frac{DE}{AC} = \frac{EF}{AB} = \frac{1}{2}$.
• По третьему признаку подобия треугольников (по трём пропорциональным сторонам), $\triangle DEF \sim \triangle CBA$ (или $\triangle FDE \sim \triangle ABC$).

Поскольку все четыре малых треугольника ($\triangle ADF$, $\triangle DBE$, $\triangle FEC$ и $\triangle DEF$) подобны одному и тому же треугольнику $\triangle ABC$, они подобны и друг другу (по свойству транзитивности подобия). Коэффициент подобия каждого малого треугольника по отношению к исходному равен $\frac{1}{2}$.

Ответ: Все четыре треугольника, образованные средними линиями, подобны друг другу, а также исходному треугольнику.