Номер 2.104, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.104. Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их соответствующих сторон.

Пусть даны два подобных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Обозначим длины их соответственных сторон как $a, b, c$ и $a_1, b_1, c_1$ соответственно. Периметры этих треугольников равны $P = a + b + c$ и $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$.

Согласно определению подобных треугольников, отношение их соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$:$ \frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} = k $

Из этого соотношения можно выразить стороны треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ через стороны треугольника $\triangle ABC$:$ a_1 = k \cdot a $, $ b_1 = k \cdot b $, $ c_1 = k \cdot c $.

Найдем периметр второго треугольника, подставив в его формулу полученные выражения для сторон:$ P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = k \cdot a + k \cdot b + k \cdot c $

Вынесем общий множитель $k$ за скобки:$ P_1 = k(a + b + c) $

Поскольку выражение в скобках является периметром первого треугольника ($a + b + c = P$), мы получаем равенство:$ P_1 = k \cdot P $

Разделив обе части этого равенства на $P$ (периметр не может быть равен нулю), найдем искомое отношение периметров:$ \frac{P_1}{P} = k $

Так как $k$ является коэффициентом подобия и равно отношению соответственных сторон, то мы доказали, что:$ \frac{P_1}{P} = \frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} $

Ответ: Утверждение доказано: отношение периметров подобных треугольников равно отношению их соответственных сторон.