Номер 2.110, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.110. Докажите, что отношение высот, опущенных к соответствующим сторонам подобных треугольников, равно отношению этих сторон.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два подобных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, с высотами $BH$ и $B_1H_1$, опущенными на соответственные стороны $AC$ и $A_1C_1$.

Дано:
Треугольник $\triangle ABC$ подобен треугольнику $\triangle A_1B_1C_1$, то есть $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.
$BH$ — высота $\triangle ABC$, проведенная к стороне $AC$.
$B_1H_1$ — высота $\triangle A_1B_1C_1$, проведенная к соответственной стороне $A_1C_1$.

Доказать:
$\frac{B_1H_1}{BH} = \frac{A_1C_1}{AC}$.

Доказательство:

1. Поскольку по условию $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, их соответственные углы равны, а отношения длин соответственных сторон равны коэффициенту подобия $k$:

$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$. Так как $BH$ и $B_1H_1$ являются высотами, они перпендикулярны сторонам, к которым проведены. Следовательно, $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ — прямоугольные треугольники, в которых $\angle BHA = 90^\circ$ и $\angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$.

3. Сравним треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$. У них:
- $\angle A = \angle A_1$ (из подобия исходных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$).
- $\angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$ (по определению высоты).
Следовательно, по первому признаку подобия треугольников (по двум равным углам), $\triangle ABH \sim \triangle A_1B_1H_1$.

4. Из подобия треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ следует пропорциональность их соответственных сторон. В частности, отношение высот $B_1H_1$ и $BH$ (катетов, лежащих напротив равных углов $\angle A_1$ и $\angle A$) равно отношению гипотенуз $A_1B_1$ и $AB$:
$\frac{B_1H_1}{BH} = \frac{A_1B_1}{AB}$.

5. Из шага 1 мы знаем, что отношение сторон $A_1B_1$ и $AB$ равно отношению сторон $A_1C_1$ и $AC$ (коэффициенту подобия):
$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC}$.

6. Объединяя равенства из шагов 4 и 5, получаем искомое соотношение:
$\frac{B_1H_1}{BH} = \frac{A_1C_1}{AC}$.

Таким образом, мы доказали, что отношение высот, опущенных к соответственным сторонам подобных треугольников, равно отношению этих сторон. Что и требовалось доказать.

Ответ: Отношение высот, опущенных к соответственным сторонам подобных треугольников, равно отношению этих сторон.