Номер 2.116, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.116. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Это утверждение известно как Теорема о биссектрисе угла треугольника.

Пусть в треугольнике $\triangle ABC$ проведена биссектриса угла $\angle A$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Требуется доказать, что $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.

Доказательство:

Существует несколько способов доказательства этой теоремы. Один из наиболее наглядных — метод площадей.

1. Рассмотрим два треугольника, на которые биссектриса $AD$ делит исходный треугольник: $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

2. Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны, а $\gamma$ — угол между ними. Применим эту формулу к нашим треугольникам:

Площадь $\triangle ABD$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)$

Площадь $\triangle ACD$: $S_{ACD} = \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)$

3. Так как $AD$ является биссектрисой угла $\angle A$, то по определению $\angle BAD = \angle CAD$. Следовательно, равны и их синусы: $\sin(\angle BAD) = \sin(\angle CAD)$.

4. Теперь найдем отношение площадей этих двух треугольников:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)}{\frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)}$

Сократив общие множители ($\frac{1}{2}$, $AD$ и равные синусы), получим:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}$

5. С другой стороны, площади этих же треугольников можно выразить через их основания и общую высоту. Проведем из вершины $A$ высоту $h$ к стороне $BC$. Эта высота будет общей для треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. Их основаниями будут отрезки $BD$ и $DC$ соответственно.

Площадь $\triangle ABD$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} BD \cdot h$

Площадь $\triangle ACD$: $S_{ACD} = \frac{1}{2} DC \cdot h$

6. Найдем отношение площадей, используя эти формулы:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} BD \cdot h}{\frac{1}{2} DC \cdot h}$

Сократив $\frac{1}{2}$ и общую высоту $h$, получим:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{DC}$

7. Мы получили два выражения для одного и того же отношения площадей $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}$. Приравняем правые части этих выражений:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$

Это и есть доказываемое утверждение. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам. Для биссектрисы $AD$ треугольника $\triangle ABC$ выполняется соотношение: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.