Страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.114. Постройте прямоугольный треугольник по заданному отношению.

Задача заключается в построении прямоугольного треугольника по заданному отношению его элементов. Поскольку в условии не уточнено, о каком именно отношении идет речь, рассмотрим два наиболее распространенных случая.

а) Построение по отношению катетов $a/b = m/n$

В этом случае заданы два отрезка $m$ и $n$, и требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, у которого отношение катетов $BC/AC$ равно $m/n$. Все такие треугольники подобны друг другу. Мы можем построить один из них, взяв в качестве катетов сами отрезки $m$ и $n$.

Анализ:

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен, $\angle C = 90^\circ$. По условию, отношение его катетов $a = BC$ и $b = AC$ равно $a/b = m/n$. Это означает, что треугольник $ABC$ подобен прямоугольному треугольнику с катетами $m$ и $n$. Следовательно, для построения достаточно создать прямоугольный треугольник с катетами, равными данным отрезкам $m$ и $n$.

Построение:

1. Провести произвольную прямую и отметить на ней точку $C$.
2. Восстановить в точке $C$ перпендикуляр к этой прямой.
3. На одной из прямых от точки $C$ отложить отрезок $CA$, равный данному отрезку $n$.
4. На другой прямой от точки $C$ отложить отрезок $CB$, равный данному отрезку $m$.
5. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство:

По построению, угол $C$ прямой, следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный. Его катеты $AC = n$ и $BC = m$. Отношение катетов $BC/AC = m/n$, что и требовалось.

Исследование:

Задача имеет решение для любых двух заданных отрезков $m > 0$ и $n > 0$. Все построенные таким образом треугольники будут подобны. Если размеры отрезков $m$ и $n$ не заданы, можно выбрать их произвольно.

Ответ: Построенный треугольник $ABC$ с катетами $m$ и $n$ удовлетворяет условию задачи.

б) Построение по отношению катета к гипотенузе $a/c = m/n$

В этом случае заданы два отрезка $m$ и $n$ (причем $m < n$), и требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, у которого отношение катета $a=BC$ к гипотенузе $c=AB$ равно $m/n$.

Анализ:

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен, $\angle C = 90^\circ$. По условию, $a/c = m/n$. Это означает, что синус угла $A$, противолежащего катету $a$, равен $\sin A = a/c = m/n$. Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и противолежащему катету. Мы можем построить такой треугольник, взяв в качестве катета отрезок $m$, а в качестве гипотенузы — отрезок $n$.

Построение:

1. Провести произвольную прямую и отметить на ней точку $C$.
2. Восстановить в точке $C$ перпендикуляр к этой прямой.
3. На перпендикуляре отложить от точки $C$ отрезок $CB$, равный данному отрезку $m$.
4. Провести окружность (или дугу) с центром в точке $B$ и радиусом, равным данному отрезку $n$.
5. Точка пересечения этой окружности с первоначальной прямой будет вершиной $A$ искомого треугольника.
6. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство:

По построению, угол $C$ прямой, так как $AC$ и $BC$ лежат на взаимно перпендикулярных прямых. Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный. Катет $BC$ равен $m$ по построению. Гипотенуза $AB$ равна $n$, так как точка $A$ лежит на окружности с центром $B$ и радиусом $n$. Таким образом, отношение катета к гипотенузе $BC/AB = m/n$, что и требовалось.

Исследование:

Задача имеет решение, если окружность из шага 4 пересекает прямую из шага 1. Это произойдет, если радиус окружности $n$ не меньше расстояния от ее центра $B$ до прямой, которое равно длине катета $m$. То есть, $n \ge m$. Так как в невырожденном прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета, то должно выполняться строгое неравенство $n > m$. Если $n=m$, то точка $A$ совпадает с $C$, и треугольник вырождается в отрезок. Если $n < m$, решения нет. Окружность пересекает прямую в двух точках, симметричных относительно прямой $BC$, что дает два конгруэнтных треугольника.

Ответ: Построенный треугольник $ABC$ с катетом $m$ и гипотенузой $n$ удовлетворяет условию задачи при $n>m$.

2.115. Используя признаки подобия треугольников, докажите, что медианы треугольника в точке их пересечения делятся в отношении $2 : 1$, считая от вершины.

Пусть дан произвольный треугольник $\triangle ABC$. Проведем в нем две медианы $AD$ и $BE$, где $D$ — середина стороны $BC$, а $E$ — середина стороны $AC$. Пусть медианы $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $O$. Нам необходимо доказать, что $AO : OD = 2 : 1$ и $BO : OE = 2 : 1$.

Рассмотрим отрезок $DE$. Поскольку точка $D$ является серединой стороны $BC$, а точка $E$ — серединой стороны $AC$, то отрезок $DE$ является средней линией треугольника $\triangle ABC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, $DE \parallel AB$ и $DE = \frac{1}{2}AB$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOE$.

1. Угол $\angle AOB$ равен углу $\angle DOE$ ($\angle AOB = \angle DOE$), так как они являются вертикальными.

2. Угол $\angle OAB$ равен углу $\angle ODE$ ($\angle OAB = \angle ODE$) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AB$ и $DE$ секущей $AD$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOE$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны: $ \frac{AO}{DO} = \frac{BO}{EO} = \frac{AB}{DE} $

Мы знаем, что $DE = \frac{1}{2}AB$, откуда следует, что $\frac{AB}{DE} = \frac{AB}{\frac{1}{2}AB} = 2$.

Подставим это значение в нашу пропорцию: $ \frac{AO}{DO} = \frac{BO}{EO} = 2 $

Из этого равенства получаем, что $AO = 2 \cdot DO$ и $BO = 2 \cdot EO$. Это означает, что точка пересечения $O$ делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Поскольку выбор медиан $AD$ и $BE$ был произвольным, это свойство справедливо для любой пары медиан треугольника, а значит, и для всех трех. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Используя подобие треугольников, образованных двумя медианами и средней линией, мы показали, что медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

2.116. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Это утверждение известно как Теорема о биссектрисе угла треугольника.

Пусть в треугольнике $\triangle ABC$ проведена биссектриса угла $\angle A$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $D$. Требуется доказать, что $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.

Доказательство:

Существует несколько способов доказательства этой теоремы. Один из наиболее наглядных — метод площадей.

1. Рассмотрим два треугольника, на которые биссектриса $AD$ делит исходный треугольник: $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

2. Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны, а $\gamma$ — угол между ними. Применим эту формулу к нашим треугольникам:

Площадь $\triangle ABD$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)$

Площадь $\triangle ACD$: $S_{ACD} = \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)$

3. Так как $AD$ является биссектрисой угла $\angle A$, то по определению $\angle BAD = \angle CAD$. Следовательно, равны и их синусы: $\sin(\angle BAD) = \sin(\angle CAD)$.

4. Теперь найдем отношение площадей этих двух треугольников:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)}{\frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)}$

Сократив общие множители ($\frac{1}{2}$, $AD$ и равные синусы), получим:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC}$

5. С другой стороны, площади этих же треугольников можно выразить через их основания и общую высоту. Проведем из вершины $A$ высоту $h$ к стороне $BC$. Эта высота будет общей для треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$. Их основаниями будут отрезки $BD$ и $DC$ соответственно.

Площадь $\triangle ABD$: $S_{ABD} = \frac{1}{2} BD \cdot h$

Площадь $\triangle ACD$: $S_{ACD} = \frac{1}{2} DC \cdot h$

6. Найдем отношение площадей, используя эти формулы:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} BD \cdot h}{\frac{1}{2} DC \cdot h}$

Сократив $\frac{1}{2}$ и общую высоту $h$, получим:

$\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{BD}{DC}$

7. Мы получили два выражения для одного и того же отношения площадей $\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}$. Приравняем правые части этих выражений:

$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$

Это и есть доказываемое утверждение. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам. Для биссектрисы $AD$ треугольника $\triangle ABC$ выполняется соотношение: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$.

2.117. Как определить ширину реки, используя подобие треугольников?

Чтобы определить ширину реки, используя подобие треугольников, необходимо выполнить последовательность действий, позволяющих создать на местности два подобных треугольника. Один из них будет включать в себя искомую ширину, а второй будет полностью доступен для измерений.

Алгоритм действий:
1. Выберите на противоположном берегу четкий, неподвижный ориентир (например, дерево или камень). Обозначим его как точку A.
2. На своем берегу найдите точку B, расположенную строго напротив точки A. Длина отрезка AB и будет являться искомой шириной реки w. Прямая AB по построению перпендикулярна линии берега.
3. От точки B пройдите вдоль берега на некоторое расстояние и установите метку (колышек) в точке C. Измерьте рулеткой или шагами расстояние BC.
4. Продолжайте движение в том же направлении от точки C до точки D и установите еще одну метку. Измерьте расстояние CD.
5. Из точки D начните движение перпендикулярно линии берега BD (вглубь суши). Двигайтесь до тех пор, пока не окажетесь в точке E, из которой метка C и ориентир A окажутся на одной линии визирования.
6. Измерьте полученное расстояние DE.

Схематически выполненные построения выглядят следующим образом:

В результате построений мы получили два треугольника: $ΔABC$ и $ΔEDC$. Эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам):
1. $∠ABC = ∠EDC = 90°$ (по построению, так как движение шло перпендикулярно берегу).
2. $∠ACB = ∠ECD$ (как вертикальные углы).

Из подобия треугольников ($ΔABC \sim ΔEDC$) следует, что отношение их соответственных сторон равно:$$ \frac{AB}{ED} = \frac{BC}{DC} $$

Искомая ширина реки – это длина стороны AB. Выразим ее из данной пропорции:$$ AB = \frac{BC \cdot ED}{DC} $$

Так как все расстояния в правой части формулы (BC, CD и ED) были измерены на местности, мы можем легко вычислить ширину реки AB.

Ответ: Для определения ширины реки AB ($w$) необходимо на своем берегу построить два подобных прямоугольных треугольника $ΔABC$ и $ΔEDC$. Для этого выбирают точку B напротив ориентира A, затем откладывают вдоль берега отрезки BC и CD. После этого в точке D отходят перпендикулярно берегу до точки E так, чтобы точки A, C, E оказались на одной прямой. Измерив расстояния BC, CD и ED, ширину реки находят по формуле, следующей из подобия треугольников: $w = AB = \frac{BC \cdot ED}{DC}$.

2.118. Точка пересечения двух прямых находится за пределами листа бумаги. Укажите способ нахождения расстояния от точки, лежащей на одной из прямых, до недоступной точки пересечения этих прямых.

Для нахождения расстояния от точки на одной из прямых до недоступной точки их пересечения можно использовать метод подобных треугольников. Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$, пересекающиеся в недоступной точке $M$. Пусть на прямой $l_1$ дана точка $A$, расстояние от которой до точки $M$ нужно найти.

Алгоритм действий следующий:

1. На прямой $l_1$, на которой лежит точка $A$, выберем еще одну произвольную точку $B$, лежащую на листе бумаги. Измерим расстояние $AB$.
2. Через точку $A$ проведем произвольную прямую (секущую), пересекающую прямую $l_2$ в точке $C$ (точка $C$ также должна лежать на листе бумаги). Измерим длину отрезка $AC$.
3. Через точку $B$ проведем прямую, параллельную прямой $AC$. Эта прямая пересечет $l_2$ в точке $D$. Измерим длину отрезка $BD$. Построение параллельной прямой можно выполнить с помощью циркуля и линейки.
4. Рассмотрим два треугольника: $\triangle MAC$ и $\triangle MBD$. Они подобны по двум углам:
   • $\angle M$ - общий.
   • $\angle MCA = \angle MDB$ как соответственные углы при параллельных прямых $AC$ и $BD$ и секущей $l_2$.
5. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
   $\frac{MA}{MB} = \frac{AC}{BD}$
6. Расстояние $MB$ можно выразить через искомое расстояние $MA$ и измеренное расстояние $AB$: $MB = MA - AB$. Подставим это в пропорцию:
   $\frac{MA}{MA - AB} = \frac{AC}{BD}$
7. Решим полученное уравнение относительно $MA$:
   $MA \cdot BD = (MA - AB) \cdot AC$
   $MA \cdot BD = MA \cdot AC - AB \cdot AC$
   $AB \cdot AC = MA \cdot AC - MA \cdot BD$
   $AB \cdot AC = MA \cdot (AC - BD)$
   $MA = \frac{AB \cdot AC}{AC - BD}$
8. Все величины в правой части формулы ($AB$, $AC$ и $BD$) можно измерить линейкой на листе бумаги. Таким образом, мы можем вычислить искомое расстояние $MA$.

Ответ: Следует выбрать на прямой $l_1$ еще одну точку $B$, провести через точки $A$ и $B$ две параллельные прямые до пересечения с прямой $l_2$ в точках $C$ и $D$ соответственно. Затем измерить длины отрезков $AB$, $AC$ и $BD$ и вычислить искомое расстояние $MA$ по формуле $MA = \frac{AB \cdot AC}{AC - BD}$.

2.119. Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе третьего угла.

Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по двум заданным углам, скажем $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$, и длине биссектрисы третьего угла $\angle C$, обозначим ее $l_c$.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Нам известны углы $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle C$ можно найти: $\angle C = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Пусть $CD$ — биссектриса угла $\angle C$, где точка $D$ лежит на стороне $AB$. По условию, длина отрезка $CD = l_c$. Так как $CD$ является биссектрисой, она делит угол $\angle C$ на два равных угла: $\angle ACD = \angle BCD = \frac{\angle C}{2}$.

Значение этих углов можно выразить через заданные углы $\alpha$ и $\beta$:

$\angle ACD = \frac{180^\circ - (\alpha + \beta)}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. В этом треугольнике нам известны:

• сторона $CD = l_c$;
• угол $\angle CAD = \angle A = \alpha$;
• угол $\angle ACD = 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Третий угол треугольника $ADC$, угол $\angle ADC$, также можно определить из условия, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle ADC = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^\circ - \left(\alpha + \left(90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}\right)\right)$

$\angle ADC = 180^\circ - \alpha - 90^\circ + \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $ADC$ по стороне $CD$ и двум прилежащим к ней углам: $\angle ACD$ и $\angle ADC$. (Хотя $\angle ADC$ не прилежит к стороне CD в традиционном смысле, треугольник однозначно определяется по стороне и двум любым углам). Построив треугольник $ADC$, мы найдем вершины $A$ и $C$ и прямую, на которой лежит сторона $AB$. Затем, построив угол $\angle BCD$, равный $\angle ACD$, мы найдем положение вершины $B$.

Для наглядности приведем рисунок, иллюстрирующий соотношения в искомом треугольнике:

Построение

1. Построим вспомогательные углы. Имея углы $\alpha$ и $\beta$, с помощью циркуля и линейки строим:

а. Углы $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$ путем деления данных углов пополам (построение биссектрисы).

б. Угол $\gamma = \angle ACD = 90^\circ - \frac{\alpha+\beta}{2}$. Для этого строим прямой угол, а затем вычитаем из него сумму углов $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$.

в. Угол $\delta = \angle ADC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}$. Для этого к прямому углу добавляем $\frac{\beta}{2}$ и вычитаем $\frac{\alpha}{2}$.

2. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $CD$, равный заданной длине биссектрисы $l_c$.

3. От луча $CD$ в одну из полуплоскостей отложим угол, равный $\gamma$. Построим луч $CX$. Это будет луч, на котором лежит сторона $AC$.

4. От луча $DC$ в ту же полуплоскость отложим угол, равный $\delta$. Построим луч $DY$.

5. Точка пересечения лучей $CX$ и $DY$ является вершиной $A$ искомого треугольника.

6. Продлим отрезок $AD$ за точку $D$. Получим прямую, содержащую сторону $AB$.

7. От луча $CD$ в другую полуплоскость отложим угол, равный $\gamma$. Построим луч $CZ$.

8. Точка пересечения луча $CZ$ и прямой $AD$ является вершиной $B$ искомого треугольника.

9. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

По построению, отрезок $CD$ имеет длину $l_c$ и является биссектрисой угла $\angle ACB$, так как $\angle ACD = \angle BCD = \gamma$.

В построенном треугольнике $ADC$ имеем $\angle ACD = \gamma = 90^\circ - \frac{\alpha+\beta}{2}$ и $\angle ADC = \delta = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}$.

Следовательно, третий угол этого треугольника $\angle CAD$ равен:

$\angle CAD = 180^\circ - (\angle ACD + \angle ADC) = 180^\circ - \left( (90^\circ - \frac{\alpha+\beta}{2}) + (90^\circ - \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) \right) = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$.

Таким образом, угол $\angle A$ построенного треугольника $ABC$ равен заданному углу $\alpha$.

Угол $\angle C$ треугольника $ABC$ по построению равен $2\gamma = 2 \left(90^\circ - \frac{\alpha+\beta}{2}\right) = 180^\circ - (\alpha+\beta)$.

Тогда третий угол треугольника $ABC$, угол $\angle B$, равен:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (\alpha + (180^\circ - \alpha - \beta)) = \beta$.

Таким образом, угол $\angle B$ построенного треугольника равен заданному углу $\beta$.

Построенный треугольник $ABC$ имеет углы $\alpha$ и $\beta$ и биссектрису третьего угла длиной $l_c$, что и требовалось.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда может существовать треугольник с углами $\alpha$ и $\beta$. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: $\alpha > 0$, $\beta > 0$ и $\alpha + \beta < 180^\circ$.

Если эти условия выполнены, то все вспомогательные углы, которые мы строим, корректно определены и положительны. В частности, $\gamma = 90^\circ - \frac{\alpha+\beta}{2} > 0$.

Построение треугольника $ADC$ всегда возможно, так как сумма двух его углов, откладываемых от стороны $CD$, меньше $180^\circ$:

$\angle ACD + \angle CDA = \gamma + \delta = 180^\circ - \alpha$. Так как $\alpha > 0$, эта сумма меньше $180^\circ$, и лучи $CX$ и $DY$ пересекутся в единственной точке $A$.

Аналогично, луч $CZ$ и прямая $AD$ не параллельны и пересекутся в единственной точке $B$.

Следовательно, при выполнении указанных условий задача имеет единственное решение (с точностью до расположения и ориентации на плоскости).

Ответ: Решение представлено в виде анализа, алгоритма построения, доказательства его корректности и исследования условий существования решения.

2.120. Постройте треугольник по двум углам и высоте, опущенной из вершины третьего угла.

Для построения треугольника по двум заданным углам и высоте, опущенной из вершины третьего угла, необходимо выполнить следующую последовательность действий.

Построение

1. Провести произвольную прямую $m$. На этой прямой будет лежать сторона $AB$ искомого треугольника.
2. Построить прямую $n$, параллельную прямой $m$, на расстоянии $h_c$ (заданная высота) от нее. Для этого нужно:
   1. Выбрать на прямой $m$ произвольную точку $P$.
   2. Провести через точку $P$ прямую, перпендикулярную $m$.
   3. На этом перпендикуляре отложить от точки $P$ отрезок $PQ$, равный по длине высоте $h_c$.
   4. Через точку $Q$ провести прямую $n$, параллельную $m$.
3. На прямой $n$ выбрать произвольную точку $C$. Это будет вершина треугольника, из которой опущена заданная высота.
4. Построить сторону $AC$. Для этого нужно провести через точку $C$ прямую так, чтобы она пересекла прямую $m$ под углом $\alpha$ (первый заданный угол). Это можно сделать, построив в любой точке прямой $m$ вспомогательный луч, образующий с $m$ угол $\alpha$, а затем провести через $C$ прямую, параллельную этому лучу. Точка пересечения построенной прямой с прямой $m$ и будет вершиной $A$.
5. Построить сторону $BC$. Аналогично предыдущему шагу, провести через точку $C$ прямую так, чтобы она пересекла прямую $m$ под углом $\beta$ (второй заданный угол). Углы $\alpha$ и $\beta$ должны откладываться таким образом, чтобы стороны треугольника сходились в одной точке $C$. Точка пересечения этой прямой с прямой $m$ будет вершиной $B$.
6. Треугольник $ABC$ построен.

Обоснование

Построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи. Высота, опущенная из вершины $C$ на прямую $AB$, по построению равна расстоянию между параллельными прямыми $m$ и $n$, то есть $h_c$. Углы при вершинах $A$ и $B$ равны $\alpha$ и $\beta$ соответственно, так как стороны $AC$ и $BC$ были построены как прямые, пересекающие прямую $m$ (содержащую сторону $AB$) под заданными углами.

Ниже приведена иллюстрация, показывающая основные элементы построения и итоговый треугольник $ABC$.

Ответ: Искомый треугольник может быть построен согласно приведенному алгоритму. Построение возможно, если сумма заданных углов меньше 180°, и оба угла положительны, то есть $\alpha > 0$, $\beta > 0$ и $\alpha + \beta < 180^\circ$.

2.121. Постройте треугольник $ABC$ по углу $A$ и медиане $AH$, если $AB : AC = 2 : 3$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. В нем известны угол $A$, медиана $AH = m_a$, и отношение сторон $AB : AC = 2 : 3$. Обозначим $AB = c$ и $AC = b$. Тогда $c/b = 2/3$.

Поскольку в задаче дано отношение сторон, а не их абсолютные значения, удобно использовать метод подобия. Построим сначала вспомогательный треугольник $A'B'C'$, подобный искомому.

Пусть $A'B' = 2x$ и $A'C' = 3x$, где $x$ — некоторый произвольный отрезок, и $\angle A' = \angle A$. Треугольник $A'B'C'$ можно построить по двум сторонам и углу между ними. Этот треугольник будет подобен искомому треугольнику $ABC$.

В подобных треугольниках отношение соответственных элементов равно коэффициенту подобия $k$. Проведем в треугольнике $A'B'C'$ медиану $A'H'$. Тогда отношение медиан будет таким же, как и отношение сторон: $k = \frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{AH}{A'H'}$

Мы знаем длину медианы $AH = m_a$ и можем построить и измерить медиану $A'H'$ во вспомогательном треугольнике. Таким образом, мы можем найти коэффициент подобия $k = \frac{m_a}{A'H'}$.

Зная коэффициент подобия, мы можем найти длины сторон искомого треугольника: $AB = k \cdot A'B'$ и $AC = k \cdot A'C'$. После этого искомый треугольник $ABC$ можно построить по двум сторонам ($AB$ и $AC$) и углу между ними ($\angle A$).

Таким образом, задача сводится к последовательности построений: 1) построение вспомогательного треугольника $A'B'C'$; 2) нахождение его медианы $A'H'$; 3) определение длин сторон $AB$ и $AC$ с помощью построения четвертого пропорционального отрезка; 4) построение искомого треугольника $ABC$.

Ответ: План построения основан на методе подобия, где сначала строится вспомогательный треугольник, а затем, с использованием отношения его медианы к данной медиане, определяются размеры искомого треугольника.

Построение

1) Выберем произвольный отрезок $x$.

2) Построим вспомогательный треугольник $A'B'C'$:
а) Построим угол, равный данному углу $A$, с вершиной в точке $A'$.
б) На одной стороне угла отложим отрезок $A'B' = 2x$.
в) На другой стороне угла отложим отрезок $A'C' = 3x$.
г) Соединим точки $B'$ и $C'$. Треугольник $A'B'C'$ построен.

3) Построим медиану $A'H'$ треугольника $A'B'C'$:
а) Найдем середину $H'$ отрезка $B'C'$ (с помощью циркуля и линейки).
б) Соединим точки $A'$ и $H'$.

4) Найдем длины сторон $AB$ и $AC$ искомого треугольника. Для этого используем построение четвертого пропорционального отрезка (основанное на теореме Фалеса).
а) Чтобы найти длину $AB$, строим отрезок, для которого выполняется пропорция $AB/A'B' = m_a/A'H'$, то есть $AB = (A'B' \cdot m_a) / A'H'$.
б) Аналогично, чтобы найти длину $AC$, строим отрезок, для которого $AC/A'C' = m_a/A'H'$, то есть $AC = (A'C' \cdot m_a) / A'H'$.

5) Построим искомый треугольник $ABC$:
а) Построим угол, равный данному углу $A$, с вершиной в точке $A$.
б) На одной стороне угла отложим отрезок $AB$, полученный в п. 4а.
в) На другой стороне угла отложим отрезок $AC$, полученный в п. 4б.
г) Соединим точки $B$ и $C$.

6) Треугольник $ABC$ является искомым.

Ответ: Треугольник построен в соответствии с описанными шагами.

Доказательство

Построенный по пункту 5 треугольник $ABC$ по построению имеет угол $A$, равный данному. Необходимо доказать, что его медиана из вершины $A$ равна $m_a$ и что $AB:AC = 2:3$.

Рассмотрим отношение сторон $AB$ и $AC$. Из построения в п. 4 мы имеем:
$AB = \frac{A'B' \cdot m_a}{A'H'}$ и $AC = \frac{A'C' \cdot m_a}{A'H'}$.

Найдем их отношение:
$\frac{AB}{AC} = \frac{(A'B' \cdot m_a) / A'H'}{(A'C' \cdot m_a) / A'H'} = \frac{A'B'}{A'C'}$.

По построению вспомогательного треугольника $A'B'C'$ (п. 2), мы задали $A'B'=2x$ и $A'C'=3x$. Следовательно, $\frac{A'B'}{A'C'} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$.
Таким образом, $\frac{AB}{AC} = \frac{2}{3}$, что соответствует условию задачи.

Теперь докажем, что медиана $AH$ равна $m_a$. Из пропорций в п. 4 следует, что $\frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} = \frac{m_a}{A'H'}$. Обозначим этот коэффициент $k = \frac{m_a}{A'H'}$. Так как $\angle A = \angle A'$, а прилежащие стороны пропорциональны ($AB/A'B' = AC/A'C'$), то треугольники $ABC$ и $A'B'C'$ подобны по второму признаку подобия с коэффициентом $k$.

В подобных треугольниках отношение соответственных медиан равно коэффициенту подобия. Пусть $AH$ — медиана в $\triangle ABC$. Тогда:
$\frac{AH}{A'H'} = k$.

Подставляя значение $k$, получаем:
$\frac{AH}{A'H'} = \frac{m_a}{A'H'}$.

Отсюда следует, что $AH = m_a$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построение корректно, так как результирующий треугольник имеет заданные угол, отношение сторон и длину медианы.

Исследование

Задача имеет решение тогда, когда все шаги построения выполнимы.

1) Построение вспомогательного треугольника $A'B'C'$ всегда возможно, если заданный угол $A$ удовлетворяет условию $0 < \angle A < 180^\circ$.

2) Построение медианы $A'H'$ всегда возможно, и ее длина $A'H'$ будет строго положительной, так как $A', B', C'$ не лежат на одной прямой.

3) Построение четвертого пропорционального отрезка для нахождения $AB$ и $AC$ всегда возможно, так как все используемые длины ($m_a$, $A'H'$, $A'B'$, $A'C'$) — положительные величины.

4) Финальное построение треугольника $ABC$ по двум сторонам и углу между ними всегда возможно.

Выбор произвольного отрезка $x$ не влияет на форму искомого треугольника, а только на масштаб вспомогательного. Все вспомогательные треугольники, построенные по шагам 1-2, будут подобны друг другу, и отношение $m_a/A'H'$ останется неизменным. Таким образом, итоговый результат не зависит от выбора $x$. Все шаги построения приводят к единственному результату.

Следовательно, задача всегда имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если задан угол $A$ ($0^\circ < A < 180^\circ$) и положительная длина медианы $m_a > 0$.

Ответ: Задача имеет единственное решение при $0^\circ < \angle A < 180^\circ$ и $m_a > 0$.

2.122. Покажите, что биссектриса между сторонами треугольника меньше 12 см, если эти стороны равны 10 см и 15 см.

Пусть стороны треугольника равны $b = 15$ см и $c = 10$ см. Обозначим биссектрису угла $A$, заключенного между этими сторонами, как $l_a$. Длину этой биссектрисы можно вычислить по формуле, которая связывает ее с длинами прилежащих сторон и косинусом половины угла между ними:

$l_a = \frac{2bc}{b+c} \cos\left(\frac{A}{2}\right)$

Подставим в эту формулу известные значения длин сторон $b$ и $c$:

$l_a = \frac{2 \cdot 15 \cdot 10}{15 + 10} \cos\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{300}{25} \cos\left(\frac{A}{2}\right) = 12 \cos\left(\frac{A}{2}\right)$

Поскольку $A$ является углом невырожденного треугольника, его величина строго больше $0^\circ$ и строго меньше $180^\circ$. Таким образом, $0^\circ < A < 180^\circ$.

Отсюда следует, что половина этого угла, $\frac{A}{2}$, находится в пределах $0^\circ < \frac{A}{2} < 90^\circ$.

Для любого угла $\alpha$ из интервала $(0^\circ, 90^\circ)$ его косинус строго меньше единицы: $\cos(\alpha) < 1$.

Следовательно, $\cos\left(\frac{A}{2}\right) < 1$.

Теперь вернемся к выражению для длины биссектрисы: $l_a = 12 \cos\left(\frac{A}{2}\right)$.

Учитывая, что $\cos\left(\frac{A}{2}\right) < 1$ и $l_a > 0$, мы можем утверждать, что:

$l_a < 12 \cdot 1$

$l_a < 12$ см.

Таким образом, мы доказали, что биссектриса, проведенная между сторонами 10 см и 15 см, всегда будет меньше 12 см.

Ответ: Утверждение доказано. Длина биссектрисы меньше 12 см.