Номер 2.119, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.119. Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе третьего угла.

Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по двум заданным углам, скажем $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$, и длине биссектрисы третьего угла $\angle C$, обозначим ее $l_c$.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. Нам известны углы $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle C$ можно найти: $\angle C = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Пусть $CD$ — биссектриса угла $\angle C$, где точка $D$ лежит на стороне $AB$. По условию, длина отрезка $CD = l_c$. Так как $CD$ является биссектрисой, она делит угол $\angle C$ на два равных угла: $\angle ACD = \angle BCD = \frac{\angle C}{2}$.

Значение этих углов можно выразить через заданные углы $\alpha$ и $\beta$:

$\angle ACD = \frac{180^\circ - (\alpha + \beta)}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. В этом треугольнике нам известны:

• сторона $CD = l_c$;
• угол $\angle CAD = \angle A = \alpha$;
• угол $\angle ACD = 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Третий угол треугольника $ADC$, угол $\angle ADC$, также можно определить из условия, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$\angle ADC = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^\circ - \left(\alpha + \left(90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}\right)\right)$

$\angle ADC = 180^\circ - \alpha - 90^\circ + \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $ADC$ по стороне $CD$ и двум прилежащим к ней углам: $\angle ACD$ и $\angle ADC$. (Хотя $\angle ADC$ не прилежит к стороне CD в традиционном смысле, треугольник однозначно определяется по стороне и двум любым углам). Построив треугольник $ADC$, мы найдем вершины $A$ и $C$ и прямую, на которой лежит сторона $AB$. Затем, построив угол $\angle BCD$, равный $\angle ACD$, мы найдем положение вершины $B$.

Для наглядности приведем рисунок, иллюстрирующий соотношения в искомом треугольнике:

Построение

1. Построим вспомогательные углы. Имея углы $\alpha$ и $\beta$, с помощью циркуля и линейки строим:

а. Углы $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$ путем деления данных углов пополам (построение биссектрисы).

б. Угол $\gamma = \angle ACD = 90^\circ - \frac{\alpha+\beta}{2}$. Для этого строим прямой угол, а затем вычитаем из него сумму углов $\frac{\alpha}{2}$ и $\frac{\beta}{2}$.

в. Угол $\delta = \angle ADC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}$. Для этого к прямому углу добавляем $\frac{\beta}{2}$ и вычитаем $\frac{\alpha}{2}$.

2. Начертим произвольную прямую и отложим на ней отрезок $CD$, равный заданной длине биссектрисы $l_c$.

3. От луча $CD$ в одну из полуплоскостей отложим угол, равный $\gamma$. Построим луч $CX$. Это будет луч, на котором лежит сторона $AC$.

4. От луча $DC$ в ту же полуплоскость отложим угол, равный $\delta$. Построим луч $DY$.

5. Точка пересечения лучей $CX$ и $DY$ является вершиной $A$ искомого треугольника.

6. Продлим отрезок $AD$ за точку $D$. Получим прямую, содержащую сторону $AB$.

7. От луча $CD$ в другую полуплоскость отложим угол, равный $\gamma$. Построим луч $CZ$.

8. Точка пересечения луча $CZ$ и прямой $AD$ является вершиной $B$ искомого треугольника.

9. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

По построению, отрезок $CD$ имеет длину $l_c$ и является биссектрисой угла $\angle ACB$, так как $\angle ACD = \angle BCD = \gamma$.

В построенном треугольнике $ADC$ имеем $\angle ACD = \gamma = 90^\circ - \frac{\alpha+\beta}{2}$ и $\angle ADC = \delta = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}$.

Следовательно, третий угол этого треугольника $\angle CAD$ равен:

$\angle CAD = 180^\circ - (\angle ACD + \angle ADC) = 180^\circ - \left( (90^\circ - \frac{\alpha+\beta}{2}) + (90^\circ - \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2}) \right) = 180^\circ - (180^\circ - \alpha) = \alpha$.

Таким образом, угол $\angle A$ построенного треугольника $ABC$ равен заданному углу $\alpha$.

Угол $\angle C$ треугольника $ABC$ по построению равен $2\gamma = 2 \left(90^\circ - \frac{\alpha+\beta}{2}\right) = 180^\circ - (\alpha+\beta)$.

Тогда третий угол треугольника $ABC$, угол $\angle B$, равен:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (\alpha + (180^\circ - \alpha - \beta)) = \beta$.

Таким образом, угол $\angle B$ построенного треугольника равен заданному углу $\beta$.

Построенный треугольник $ABC$ имеет углы $\alpha$ и $\beta$ и биссектрису третьего угла длиной $l_c$, что и требовалось.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда может существовать треугольник с углами $\alpha$ и $\beta$. Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: $\alpha > 0$, $\beta > 0$ и $\alpha + \beta < 180^\circ$.

Если эти условия выполнены, то все вспомогательные углы, которые мы строим, корректно определены и положительны. В частности, $\gamma = 90^\circ - \frac{\alpha+\beta}{2} > 0$.

Построение треугольника $ADC$ всегда возможно, так как сумма двух его углов, откладываемых от стороны $CD$, меньше $180^\circ$:

$\angle ACD + \angle CDA = \gamma + \delta = 180^\circ - \alpha$. Так как $\alpha > 0$, эта сумма меньше $180^\circ$, и лучи $CX$ и $DY$ пересекутся в единственной точке $A$.

Аналогично, луч $CZ$ и прямая $AD$ не параллельны и пересекутся в единственной точке $B$.

Следовательно, при выполнении указанных условий задача имеет единственное решение (с точностью до расположения и ориентации на плоскости).

Ответ: Решение представлено в виде анализа, алгоритма построения, доказательства его корректности и исследования условий существования решения.