Номер 2.123, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.123. Отрезок $BD$ — биссектриса треугольника $ABC$. Найдите:

1) отрезки $AD$ и $DC$, если $AB=10$ м, $BC=15$ м, $AC=20$ м;

2) сторону $BC$, если $AD:DC=8:5$ и $AB=16$ м;

3) сторону $AC$, если $AB:BC=2:7$ и $DC-AD=1$ м.

Для решения всех пунктов задачи используется свойство биссектрисы треугольника. Оно гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам треугольника. Для треугольника $ABC$ и биссектрисы $BD$ это свойство записывается в виде пропорции:

$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $

1) найти отрезки $AD$ и $DC$, если: $AB=10$ м, $BC=15$ м, $AC=20$ м;
Используем свойство биссектрисы, подставив известные значения сторон $AB$ и $BC$:
$ \frac{AD}{DC} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} $
Из этой пропорции выразим $AD$ через $DC$:
$ 3 \cdot AD = 2 \cdot DC \implies AD = \frac{2}{3}DC $
Так как точка $D$ лежит на стороне $AC$, то сумма отрезков $AD$ и $DC$ равна длине стороны $AC$:
$ AD + DC = AC = 20 $
Получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} AD = \frac{2}{3}DC \\ AD + DC = 20 \end{cases} $
Подставим выражение для $AD$ из первого уравнения во второе:
$ \frac{2}{3}DC + DC = 20 $
$ \frac{5}{3}DC = 20 $
$ DC = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12 $ м.
Теперь найдем $AD$:
$ AD = 20 - DC = 20 - 12 = 8 $ м.
Ответ: $AD = 8$ м, $DC = 12$ м.

2) найти сторону $BC$, если $AD:DC=8:5$ и $AB=16$ м;
Снова воспользуемся свойством биссектрисы:
$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $
По условию $AD:DC=8:5$, значит $ \frac{AD}{DC} = \frac{8}{5} $. Подставим это отношение и длину стороны $AB$ в формулу:
$ \frac{8}{5} = \frac{16}{BC} $
Теперь решим это уравнение относительно $BC$:
$ 8 \cdot BC = 16 \cdot 5 $
$ BC = \frac{16 \cdot 5}{8} = 2 \cdot 5 = 10 $ м.
Ответ: $BC = 10$ м.

3) найти сторону $AC$, если $AB:BC=2:7$ и $DC-AD=1$ м.
Из свойства биссектрисы следует, что отношение отрезков $AD$ и $DC$ равно отношению сторон $AB$ и $BC$:
$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $
По условию $AB:BC=2:7$, следовательно:
$ \frac{AD}{DC} = \frac{2}{7} $
Выразим $AD$ через $DC$: $AD = \frac{2}{7}DC$.
Также нам дано второе условие: $DC - AD = 1$.
Подставим выражение для $AD$ в это уравнение:
$ DC - \frac{2}{7}DC = 1 $
$ \frac{7DC - 2DC}{7} = 1 $
$ \frac{5}{7}DC = 1 $
$ DC = \frac{7}{5} = 1.4 $ м.
Теперь найдем $AD$:
$ AD = \frac{2}{7}DC = \frac{2}{7} \cdot 1.4 = 2 \cdot 0.2 = 0.4 $ м.
Сторона $AC$ является суммой длин отрезков $AD$ и $DC$:
$ AC = AD + DC = 0.4 + 1.4 = 1.8 $ м.
Ответ: $AC = 1.8$ м.