Номер 2.130, страница 104 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.130. Высота равнобедренного треугольника равна 20 см, а отношение основания к боковой стороне равно $4:3$. Найдите радиус вписанной окружности.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC$. Обозначим основание как $a$, боковую сторону как $b$. Высота, проведенная к основанию, пусть будет $BH = h$. По условию, $h = 20$ см, а отношение основания к боковой стороне $a:b = 4:3$. Требуется найти радиус вписанной окружности $r$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда основание $a = 4x$, а боковая сторона $b = 3x$.В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, она делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Его катеты – это высота $BH = h = 20$ см и половина основания $HC = a/2 = (4x)/2 = 2x$. Гипотенуза – боковая сторона $BC = b = 3x$.

По теореме Пифагора для треугольника $BHC$: $BH^2 + HC^2 = BC^2$.Подставим наши значения:$20^2 + (2x)^2 = (3x)^2$$400 + 4x^2 = 9x^2$$9x^2 - 4x^2 = 400$$5x^2 = 400$$x^2 = 80$$x = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

Теперь найдем длины сторон треугольника:Основание: $a = 4x = 4 \cdot 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5}$ см.Боковая сторона: $b = 3x = 3 \cdot 4\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$ см.

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Вычислим площадь треугольника:$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{5} \cdot 20 = 160\sqrt{5}$ см$^2$.

Вычислим полупериметр:$p = \frac{a + 2b}{2} = \frac{16\sqrt{5} + 2 \cdot 12\sqrt{5}}{2} = \frac{16\sqrt{5} + 24\sqrt{5}}{2} = \frac{40\sqrt{5}}{2} = 20\sqrt{5}$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:$r = \frac{S}{p} = \frac{160\sqrt{5}}{20\sqrt{5}} = 8$ см.

Другой способ решения (через подобные треугольники):Центр вписанной окружности $I$ лежит на высоте (и биссектрисе) $BH$. Расстояние от центра $I$ до основания $AC$ равно радиусу $r$, то есть $IH=r$. Расстояние от $B$ до $I$ равно $BI = BH - IH = h - r = 20 - r$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Проведем из центра $I$ перпендикуляр $IK$ на сторону $BC$. $IK$ также является радиусом, $IK=r$.Треугольник $BKI$ подобен треугольнику $BHC$ (по общему острому углу $B$). Из подобия следует отношение сторон:$\frac{IK}{HC} = \frac{BI}{BC}$Подставим известные величины:$HC = \frac{a}{2} = \frac{16\sqrt{5}}{2} = 8\sqrt{5}$ см.$BC = b = 12\sqrt{5}$ см.$\frac{r}{8\sqrt{5}} = \frac{20-r}{12\sqrt{5}}$Сократим обе части на $\sqrt{5}$:$\frac{r}{8} = \frac{20-r}{12}$$12r = 8(20-r)$$12r = 160 - 8r$$20r = 160$$r = \frac{160}{20} = 8$ см.Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 8 см.