Номер 2.133, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.133. Стороны треугольника $ABC$ равны $a, b$ и $c$. В каком отношении делит центр вписанной в треугольник окружности биссектрису $AA_1$?

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$ и $AB = c$. Центр вписанной в треугольник окружности, обозначим его точкой $I$, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Биссектриса угла $A$ — это отрезок $AA_1$, где $A_1$ лежит на стороне $BC$. Поскольку точка $I$ является точкой пересечения биссектрис, она лежит на отрезке $AA_1$. Нам необходимо найти отношение, в котором точка $I$ делит отрезок $AA_1$, то есть найти отношение $AI:IA_1$.

Рассмотрим треугольник $ABA_1$. Так как $I$ — это инцентр треугольника $ABC$, отрезок $BI$ является биссектрисой угла $B$ (или, что то же самое, угла $ABA_1$). По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Применив это свойство к треугольнику $ABA_1$ и его биссектрисе $BI$, получим:

$ \frac{AI}{IA_1} = \frac{AB}{BA_1} $

Длина стороны $AB$ нам известна, она равна $c$. Теперь найдем длину отрезка $BA_1$. Для этого воспользуемся свойством биссектрисы $AA_1$ в исходном треугольнике $ABC$. Биссектриса делит сторону $BC$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам $AB$ и $AC$:

$ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} $

Мы знаем, что $BA_1 + A_1C = BC = a$. Из пропорции выразим $A_1C = BA_1 \cdot \frac{b}{c}$ и подставим в это равенство:

$ BA_1 + BA_1 \cdot \frac{b}{c} = a $

$ BA_1 \left(1 + \frac{b}{c}\right) = a $

$ BA_1 \left(\frac{c+b}{c}\right) = a $

$ BA_1 = \frac{ac}{b+c} $

Теперь, зная длину $BA_1$, мы можем найти искомое отношение, подставив найденные значения в формулу, полученную для треугольника $ABA_1$:

$ \frac{AI}{IA_1} = \frac{AB}{BA_1} = \frac{c}{\frac{ac}{b+c}} = c \cdot \frac{b+c}{ac} = \frac{b+c}{a} $

Таким образом, центр вписанной окружности $I$ делит биссектрису $AA_1$ в отношении $(b+c):a$, считая от вершины $A$.

Ответ: Центр вписанной в треугольник окружности делит биссектрису $AA_1$ в отношении $\frac{b+c}{a}$, считая от вершины $A$.