Номер 2.136, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.136. Постройте квадрат так, чтобы его вершины лежали на сторонах данного ромба.

Задача заключается в построении квадрата, вершины которого лежат на сторонах данного ромба. Существует два основных случая расположения такого квадрата.

Случай 1: На каждой стороне ромба лежит по одной вершине квадрата.

В этом случае существует единственное решение (для ромба, не являющегося квадратом). Квадрат будет иметь центр, совпадающий с центром ромба, а его стороны будут параллельны диагоналям ромба.

Анализ

Пусть ромб $ABCD$ с центром в точке $O$ (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$). Пусть искомый квадрат $MNPQ$, где вершины $M, N, P, Q$ лежат на сторонах $AB, BC, CD, DA$ соответственно.Можно доказать, что центр квадрата $MNPQ$ должен совпадать с центром ромба $O$. Это следует из центральной симметрии обеих фигур. Если бы центры не совпадали, то, например, вершина $P$ (симметричная $M$ относительно центра квадрата) не лежала бы на стороне $CD$ (которая симметрична $AB$ относительно центра ромба).

Введем систему координат с началом в точке $O$ и осями, направленными вдоль диагоналей ромба. Пусть диагональ $AC$ лежит на оси $Oy$, а диагональ $BD$ — на оси $Ox$. Тогда вершины ромба имеют координаты $A(0, a)$, $B(b, 0)$, $C(0, -a)$, $D(-b, 0)$, где $a = OC$ и $b = OB$ — половины длин диагоналей.

Рассмотрим квадрат с центром в начале координат. Возможны два варианта его ориентации:

1. Стороны квадрата параллельны осям координат (диагоналям ромба).
2. Диагонали квадрата лежат на осях координат.

Анализ показывает, что второй вариант невозможен (кроме случая, когда сам ромб является квадратом). А первый вариант приводит к единственному решению. Вершины такого квадрата будут иметь координаты $M(k, k)$, $N(k, -k)$, $P(-k, -k)$, $Q(-k, k)$ (или с другой последовательностью, что соответствует другому направлению обхода). Проверим, могут ли эти точки лежать на сторонах ромба.

• Уравнение стороны $AB$: $\frac{x}{b} + \frac{y}{a} = 1 \Leftrightarrow ax+by=ab$.
• Уравнение стороны $BC$: $\frac{x}{b} + \frac{y}{-a} = 1 \Leftrightarrow ax-by=ab$.
• Уравнение стороны $CD$: $\frac{x}{-b} + \frac{y}{-a} = 1 \Leftrightarrow ax+by=-ab$.
• Уравнение стороны $DA$: $\frac{x}{-b} + \frac{y}{a} = 1 \Leftrightarrow ax-by=-ab$.

Чтобы вершина $M(k, k)$ лежала на стороне $AB$, ее координаты должны удовлетворять уравнению $AB$: $ak+bk=ab \Rightarrow k(a+b)=ab \Rightarrow k = \frac{ab}{a+b}$.Проверим остальные вершины:

• $N(k, -k)$ на $BC$: $ak - b(-k) = ab \Rightarrow k(a+b) = ab$. Верно.
• $P(-k, -k)$ на $CD$: $a(-k) + b(-k) = -ab \Rightarrow -k(a+b) = -ab$. Верно.
• $Q(-k, k)$ на $DA$: $a(-k) - bk = -ab \Rightarrow -k(a+b) = -ab$. Верно.

Таким образом, такое расположение возможно. Вершина $M(k, k)$ лежит на прямой $y=x$, которая является биссектрисой угла $\angle AOB$. Аналогично, остальные вершины лежат на биссектрисах других углов, образованных диагоналями.

Построение

1. Начертим данный ромб $ABCD$ и его диагонали $AC$ и $BD$, пересекающиеся в точке $O$.
2. Построим биссектрисы углов, образованных диагоналями. Это две перпендикулярные прямые, проходящие через центр $O$.
3. Точки пересечения этих биссектрис со сторонами ромба и будут вершинами искомого квадрата.
4. А именно: вершина $M$ есть пересечение биссектрисы угла $\angle AOB$ со стороной $AB$. Вершина $N$ — пересечение биссектрисы угла $\angle BOC$ со стороной $BC$. Вершина $P$ — пересечение биссектрисы угла $\angle COD$ со стороной $CD$. Вершина $Q$ — пересечение биссектрисы угла $\angle DOA$ со стороной $DA$.
5. Соединив точки $M, N, P, Q$, получим искомый квадрат.

Примечание: Случай 2

Существует и другой тип решений. Если две вершины квадрата лежат на одной стороне ромба (например, $AB$), то две другие вершины должны лежать на противоположной стороне ($CD$). Сторона такого квадрата будет равна высоте ромба $h$. Поскольку длина стороны ромба $a$ всегда больше или равна его высоте ($a \ge h$), на стороне $AB$ можно разместить отрезок длиной $h$. Это дает бесконечное множество решений (квадрат можно "двигать" вдоль сторон $AB$ и $CD$). Однако, как правило, в задачах на построение "вписанной" фигуры подразумевается, что на каждой стороне многоугольника лежит по одной вершине, что соответствует первому случаю.

Ответ: Для построения квадрата, у которого на каждой стороне ромба лежит по одной вершине, необходимо провести диагонали ромба, а затем построить биссектрисы четырех углов, образованных этими диагоналями в центре ромба. Точки пересечения этих биссектрис со сторонами ромба являются вершинами искомого квадрата.