Номер 2.135, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.135. Постройте ромб по отношению диагоналей и стороне.

Для решения задачи на построение ромба по заданному отношению диагоналей и стороне, выполним анализ, само построение и приведем доказательство корректности.

Анализ
Пусть нам дан искомый ромб $ABCD$ со стороной $a$ и диагоналями $AC=d_1$ и $BD=d_2$. Диагонали ромба пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся этой точкой пополам. Таким образом, ромб состоит из четырех конгруэнтных прямоугольных треугольников, например, $\triangle AOB$. В этом треугольнике гипотенуза $AB=a$, а катеты $AO = d_1/2$ и $BO = d_2/2$.
По условию нам дано отношение диагоналей $d_1/d_2 = m/n$, где $m$ и $n$ — длины двух заданных отрезков. Отсюда следует, что отношение половин диагоналей также равно $m/n$: $ \frac{d_1/2}{d_2/2} = \frac{m}{n} $
Это означает, что прямоугольный треугольник $\triangle AOB$ подобен любому прямоугольному треугольнику, катеты которого находятся в отношении $m:n$.
Пусть $\angle OAB = \alpha$. Тогда из $\triangle AOB$ имеем $\tan(\alpha) = \frac{BO}{AO} = \frac{d_2/2}{d_1/2} = \frac{d_2}{d_1} = \frac{n}{m}$. Угол ромба при вершине $A$ равен $\angle DAB = 2\alpha$.
Таким образом, задача сводится к построению угла $\alpha$, тангенс которого равен $n/m$, а затем к построению ромба по стороне $a$ и углу $2\alpha$.

Построение
Построение выполняется в два этапа: сначала строится вспомогательный угол, а затем сам ромб.
1. Построение вспомогательного угла $\alpha$.
а) Построим прямоугольный треугольник $PQR$ с прямым углом при вершине $Q$. Для этого проведем две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $Q$.
б) На одной из прямых отложим от точки $Q$ отрезок $QP$, равный по длине отрезку $m$.
в) На второй прямой отложим от точки $Q$ отрезок $QR$, равный по длине отрезку $n$.
г) Соединим точки $P$ и $R$. В получившемся прямоугольном треугольнике $PQR$ угол $\angle QPR$ будет искомым углом $\alpha$, так как $\tan(\angle QPR) = \frac{QR}{QP} = \frac{n}{m}$.

2. Построение ромба $ABCD$.
а) Проведем произвольную прямую и выберем на ней точку $A$.
б) Построим угол, равный $2\alpha$, с вершиной в точке $A$. Для этого дважды отложим угол $\alpha$ (построенный в п.1) в одну сторону от некоторого луча, выходящего из $A$. Пусть это будет угол $\angle DAB = 2\alpha$.
в) На сторонах угла $\angle DAB$ отложим от вершины $A$ отрезки $AB$ и $AD$, равные по длине данной стороне $a$.
г) Из точки $B$ проведем дугу окружности радиусом $a$.
д) Из точки $D$ проведем дугу окружности радиусом $a$.
е) Точку пересечения этих двух дуг (отличную от $A$) обозначим $C$.
ж) Соединим отрезками точки $B$ с $C$ и $D$ с $C$. Четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.

Доказательство
Построенный четырехугольник $ABCD$ имеет все стороны равные $a$ ($AB = AD = BC = DC = a$ по построению), следовательно, он является ромбом. Угол при вершине $A$ по построению равен $2\alpha$. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle DAB$, поэтому $\angle OAC = \alpha$, где $O$ - точка пересечения диагоналей. В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$ отношение катетов равно: $ \frac{BO}{AO} = \tan(\angle OAB) = \tan(\alpha) $
Из построения вспомогательного треугольника $PQR$ мы знаем, что $\tan(\alpha) = \frac{n}{m}$. Следовательно, отношение половин диагоналей построенного ромба: $ \frac{d_2/2}{d_1/2} = \frac{BO}{AO} = \frac{n}{m} $
Отсюда следует, что отношение диагоналей $d_1/d_2 = m/n$, что соответствует условию задачи. Сторона ромба равна $a$ по построению. Таким образом, построенный ромб удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Алгоритм построения ромба и доказательство его корректности приведены выше.