Номер 2.137, страница 105 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.137. Постройте параллелограмм по отношению диагоналей, углу между диагоналями и длине одной из сторон.

Анализ

Пусть $ABCD$ – искомый параллелограмм, $O$ – точка пересечения его диагоналей $AC=d_1$ и $BD=d_2$. По свойству параллелограмма, диагонали в точке пересечения делятся пополам, то есть $AO = OC = d_1/2$ и $BO = OD = d_2/2$. Пусть $\alpha$ – заданный угол между диагоналями, например, $\angle AOB = \alpha$.Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Его стороны равны $AO$, $BO$ и $AB=a$ (заданная длина стороны). Отношение сторон $AO$ и $BO$ нам известно: $AO/BO = (d_1/2)/(d_2/2) = d_1/d_2 = k$, где $k$ – заданное отношение диагоналей.Таким образом, задача сводится к построению треугольника $\triangle AOB$, у которого известна сторона $a$, отношение двух других сторон ($k$) и угол $\alpha$ между ними.Идея построения состоит в том, чтобы сначала построить вспомогательный треугольник $\triangle A'O'B'$, подобный искомому треугольнику $\triangle AOB$. Затем, используя заданную сторону $a$, определить коэффициент подобия и построить стороны $AO$ и $BO$, после чего построить и сам параллелограмм.

Построение

Пусть нам даны два отрезка $p$ и $q$, такие что отношение диагоналей $d_1/d_2 = p/q$, угол $\alpha$ и отрезок $a$ – длина одной из сторон.

1. Сначала построим вспомогательный треугольник $\triangle A'O'B'$, подобный треугольнику из искомого параллелограмма.
а) Построим угол, равный заданному углу $\alpha$, с вершиной в точке $O'$.
б) На одном луче угла отложим отрезок $O'A'$, равный $p/2$ (половине отрезка $p$).
в) На другом луче отложим отрезок $O'B'$, равный $q/2$ (половине отрезка $q$).
г) Соединим точки $A'$ и $B'$. Длину полученного отрезка $A'B'$ обозначим $a'$.

2. Теперь найдем длины половин диагоналей $m_1 = AO$ и $m_2 = BO$ искомого параллелограмма. Они вычисляются как $m_1 = \frac{a \cdot (p/2)}{a'}$ и $m_2 = \frac{a \cdot (q/2)}{a'}$. Для их построения используется метод построения четвертого пропорционального отрезка.
а) Для построения отрезка $m_1$: начертим произвольный угол с вершиной $M$. На одном луче отложим отрезки $MD=a'$ и $MB=a$. На другом луче отложим отрезок $MC=p/2$. Соединим точки $D$ и $C$. Проведем через точку $B$ прямую, параллельную $DC$. Точка пересечения этой прямой со вторым лучом, пусть это будет $N_1$, даст нам искомый отрезок $MN_1 = m_1$.
б) Аналогично построим отрезок $m_2$, используя на втором луче отрезок, равный $q/2$.

3. Построим искомый параллелограмм $ABCD$.
а) Начертим две прямые, пересекающиеся в точке $O$ под углом $\alpha$.
б) На одной из прямых от точки $O$ в противоположные стороны отложим отрезки $OA = OC = m_1$.
в) На другой прямой от точки $O$ в противоположные стороны отложим отрезки $OB = OD = m_2$.
г) Последовательно соединим точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Доказательство

Построенный четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, так как его диагонали $AC$ и $BD$ по построению пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам.
Угол между диагоналями $\angle AOB$ равен $\alpha$ по построению.
Длины диагоналей равны $d_1 = AC = 2m_1$ и $d_2 = BD = 2m_2$. Их отношение равно $\frac{d_1}{d_2} = \frac{m_1}{m_2}$. Из построения отрезков $m_1$ и $m_2$ следует, что $\frac{m_1}{m_2} = \frac{a \cdot (p/2) / a'}{a \cdot (q/2) / a'} = \frac{p/2}{q/2} = \frac{p}{q}$. Таким образом, отношение диагоналей равно заданному.
Треугольник $\triangle AOB$ подобен вспомогательному треугольнику $\triangle A'O'B'$, так как они имеют по равному углу ($\alpha$) между пропорциональными сторонами ($\frac{AO}{A'O'} = \frac{m_1}{p/2} = \frac{a}{a'}$ и $\frac{BO}{B'O'} = \frac{m_2}{q/2} = \frac{a}{a'}$). Коэффициент подобия равен $a/a'$. Следовательно, $\frac{AB}{A'B'} = \frac{a}{a'}$. Так как $A'B' = a'$, то $AB = a$. Длина стороны $AB$ равна заданной длине $a$.Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Построение возможно всегда, так как все его шаги выполнимы.
Задача может иметь более одного решения. Заданная сторона $a$ может быть стороной, противолежащей острому углу $\alpha$ между диагоналями, или тупому углу $180^\circ - \alpha$. Эти два случая приводят к построению, вообще говоря, двух разных параллелограммов (если $\alpha \neq 90^\circ$). Если в условии не уточнено, какой именно стороне (относительно углов между диагоналями) соответствует длина $a$, то задача имеет два решения. Если $\alpha = 90^\circ$, то параллелограмм является ромбом, его стороны равны, и решение единственно.

Ответ: Построение приведено выше. Задача всегда имеет решение. В общем случае существует два различных решения.