Номер 3.3, страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.3. В треугольнике даны стороны $a$, $b$ и угол $\gamma$ между ними. Найдите третью сторону $c$ этого треугольника, если:

1) $a=3$ м, $b=5$ м, $\gamma=30^\circ$;

2) $a=2\sqrt{2}$ м, $b=3$ м, $\gamma=45^\circ$;

3) $a=8$ см, $b=3\sqrt{3}$ см, $\gamma=120^\circ$;

4) $a=4$ см, $b=7$ см, $\gamma=60^\circ$.

Для решения всех пунктов задачи используется теорема косинусов, которая для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$ имеет вид:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

1) Дано: $a=3$ м, $b=5$ м, $\gamma=30^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(30^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$c^2 = 9 + 25 - 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$c^2 = 34 - 15\sqrt{3}$

Ответ: $c = \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}$ м.

2) Дано: $a=2\sqrt{2}$ м, $b=3$ м, $\gamma=45^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$c^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 3 \cdot \cos(45^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому:

$c^2 = 8 + 9 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 17 - \frac{12 \cdot 2}{2} = 17 - 12$

$c^2 = 5$

Ответ: $c = \sqrt{5}$ м.

3) Дано: $a=8$ см, $b=3\sqrt{3}$ см, $\gamma=120^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$c^2 = 8^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(120^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, поэтому:

$c^2 = 64 + (9 \cdot 3) - 48\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2})$

$c^2 = 64 + 27 + 24\sqrt{3}$

$c^2 = 91 + 24\sqrt{3}$

Ответ: $c = \sqrt{91 + 24\sqrt{3}}$ см.

4) Дано: $a=4$ см, $b=7$ см, $\gamma=60^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$c^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, поэтому:

$c^2 = 16 + 49 - 56 \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = 65 - 28$

$c^2 = 37$

Ответ: $c = \sqrt{37}$ см.