Номер 3.7, страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.7. Стороны параллелограмма равны 4 см и $2\sqrt{3}$ см, а его площадь равна 12 см$^2$. Найдите острый угол параллелограмма.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади параллелограмма через две стороны и угол между ними. Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а угол между ними — $\alpha$.

По условию задачи имеем:

Сторона $a = 4$ см.

Сторона $b = 2\sqrt{3}$ см.

Площадь $S = 12$ см$^2$.

Формула площади параллелограмма выглядит так:

$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти синус угла $\alpha$:

$12 = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin(\alpha)$

Выполним умножение в правой части уравнения:

$12 = 8\sqrt{3} \cdot \sin(\alpha)$

Выразим из этого уравнения $\sin(\alpha)$:

$\sin(\alpha) = \frac{12}{8\sqrt{3}}$

Сократим дробь на 4:

$\sin(\alpha) = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\sin(\alpha) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6}$

Снова сократим дробь, на этот раз на 3:

$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение синуса $\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует двум углам в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$: $60^\circ$ и $120^\circ$. Эти два угла являются смежными углами параллелограмма. По условию, нам нужно найти острый угол, то есть угол, который меньше $90^\circ$.

Следовательно, острый угол параллелограмма равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.