Номер 3.13, страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.13. Диагонали параллелограмма равны $d_1$ и $d_2$, а мень-шая сторона равна $a$. Найдите угол между его диагоналями.

Решите задачу при:

1) $d_1 = 10$ см, $d_2 = 12$ см, $a = \sqrt{31}$ см;

2) $d_1 = 4$ м, $d_2 = 2\sqrt{3}$ м, $a = 1$ м.

Для нахождения угла между диагоналями параллелограмма воспользуемся свойством диагоналей и теоремой косинусов. Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Пусть дан параллелограмм $ABCD$ с диагоналями $AC = d_1$ и $BD = d_2$, которые пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим треугольник $AOB$, образованный стороной $AB$ и половинами диагоналей $AO = d_1/2$ и $BO = d_2/2$. Пусть угол между диагоналями $\angle AOB = \gamma$. По теореме косинусов для этого треугольника: $AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\gamma) = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 - \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\gamma)$.

Для смежной стороны $AD$ и треугольника $AOD$, угол $\angle AOD = 180^\circ - \gamma$. По теореме косинусов: $AD^2 = AO^2 + DO^2 - 2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos(180^\circ - \gamma) = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\gamma)$.

Углом между диагоналями принято считать острый угол. Если $\gamma$ — острый угол, то $\cos(\gamma) > 0$. В этом случае, $AB^2 < AD^2$, то есть сторона, лежащая напротив острого угла между диагоналями, является меньшей. По условию, меньшая сторона равна $a$. Значит, мы можем использовать формулу для меньшей стороны, где $\gamma$ — искомый острый угол.

$a^2 = \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} - \frac{d_1 d_2}{2} \cos(\gamma)$

Выразим из этой формулы косинус угла $\gamma$:
$\frac{d_1 d_2}{2} \cos(\gamma) = \frac{d_1^2 + d_2^2}{4} - a^2$
$\cos(\gamma) = \frac{2}{d_1 d_2} \left( \frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{4} \right)$
$\cos(\gamma) = \frac{d_1^2 + d_2^2 - 4a^2}{2d_1d_2}$

Теперь применим эту формулу для решения задачи с конкретными значениями.

1) Дано: $d_1 = 10$ см, $d_2 = 12$ см, $a = \sqrt{31}$ см.
Подставляем значения в формулу:
$\cos(\gamma) = \frac{10^2 + 12^2 - 4 \cdot (\sqrt{31})^2}{2 \cdot 10 \cdot 12} = \frac{100 + 144 - 4 \cdot 31}{240} = \frac{244 - 124}{240} = \frac{120}{240} = \frac{1}{2}$
Так как $\cos(\gamma) = \frac{1}{2}$, искомый острый угол равен $\gamma = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.

2) Дано: $d_1 = 4$ м, $d_2 = 2\sqrt{3}$ м, $a = 1$ м.
Подставляем значения в формулу:
$\cos(\gamma) = \frac{4^2 + (2\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1^2}{2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{16 + 12 - 4}{16\sqrt{3}} = \frac{24}{16\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$
Упростим дробь: $\cos(\gamma) = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Так как $\cos(\gamma) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, искомый острый угол равен $\gamma = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.