Номер 3.12, страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.12. Найдите угол $C$ треугольника ABC, если $BC=a$, $AC=b$, а его площадь равна $S$. Решите эту задачу, если:

1) $a=7, b=8, S=14;$

2) $a=12, b=5\sqrt{3}, S=45.$

Для нахождения угла $C$ треугольника $ABC$ используется формула площади треугольника через две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2}ab \sin C$

Из этой формулы можно выразить $\sin C$:

$\sin C = \frac{2S}{ab}$

Зная значение синуса угла, можно найти и сам угол. Следует помнить, что угол в треугольнике находится в диапазоне $(0^\circ, 180^\circ)$, и в этом диапазоне одному значению синуса (если оно меньше 1) могут соответствовать два угла: острый $\alpha$ и тупой $180^\circ - \alpha$.

1)

Дано: $a=7$, $b=8$, $S=14$.

Подставим эти значения в формулу:

$\sin C = \frac{2 \cdot 14}{7 \cdot 8} = \frac{28}{56} = \frac{1}{2}$

Уравнение $\sin C = \frac{1}{2}$ имеет два решения в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$:

$C_1 = 30^\circ$

$C_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$

Оба угла являются допустимыми для треугольника.

Ответ: $30^\circ$ или $150^\circ$.

2)

Дано: $a=12$, $b=5\sqrt{3}$, $S=45$.

Подставим значения в формулу:

$\sin C = \frac{2 \cdot 45}{12 \cdot 5\sqrt{3}} = \frac{90}{60\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Упростим дробь, избавившись от иррациональности в знаменателе:

$\sin C = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Уравнение $\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два решения в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$:

$C_1 = 60^\circ$

$C_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Оба угла являются допустимыми для треугольника.

Ответ: $60^\circ$ или $120^\circ$.