Номер 3.17, страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.17. Угол между ножками циркуля, расстояние между которыми 10 см, равен $30^\circ$. Найдите угол между ножками циркуля, если расстояние между ними равно 20 см.

Для решения этой задачи представим циркуль как равнобедренный треугольник, у которого ножки циркуля являются равными боковыми сторонами, а расстояние между концами ножек — основанием. Пусть длина ножки циркуля равна $L$, расстояние между концами ножек — $d$, а угол между ножками — $\alpha$.

Проведем высоту из вершины угла $\alpha$ к основанию $d$. В равнобедренном треугольнике высота является также биссектрисой и медианой. Она делит треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом таком прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $L$, один катет равен половине основания, то есть $d/2$, а противолежащий этому катету угол равен половине угла $\alpha$, то есть $\alpha/2$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем:$sin(\frac{\alpha}{2}) = \frac{d/2}{L} = \frac{d}{2L}$

Это соотношение связывает угол, расстояние между ножками и длину ножки циркуля. Длина ножки $L$ является постоянной величиной.

Рассмотрим первое условие: расстояние между ножками $d_1 = 10$ см, а угол между ними $\alpha_1 = 30^\circ$.Подставим эти значения в нашу формулу:$sin(\frac{30^\circ}{2}) = \frac{10}{2L}$$sin(15^\circ) = \frac{5}{L}$

Отсюда мы можем выразить длину ножки циркуля $L$:$L = \frac{5}{sin(15^\circ)}$

Теперь рассмотрим второе условие: расстояние между ножками $d_2 = 20$ см. Нам нужно найти новый угол $\alpha_2$.Запишем для этого случая ту же формулу:$sin(\frac{\alpha_2}{2}) = \frac{d_2}{2L} = \frac{20}{2L} = \frac{10}{L}$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $L$, которое мы нашли ранее:$sin(\frac{\alpha_2}{2}) = \frac{10}{\frac{5}{sin(15^\circ)}} = \frac{10 \cdot sin(15^\circ)}{5} = 2 \cdot sin(15^\circ)$

Теперь нам нужно найти значение $\alpha_2$. Сначала найдем $\frac{\alpha_2}{2}$:$\frac{\alpha_2}{2} = arcsin(2 \cdot sin(15^\circ))$

А затем и сам угол $\alpha_2$:$\alpha_2 = 2 \cdot arcsin(2 \cdot sin(15^\circ))$

Для получения численного ответа вычислим значение $sin(15^\circ)$. Используя формулу синуса разности, $sin(15^\circ) = sin(45^\circ - 30^\circ) = sin(45^\circ)cos(30^\circ) - cos(45^\circ)sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \approx 0.2588$.

Тогда $sin(\frac{\alpha_2}{2}) = 2 \cdot sin(15^\circ) \approx 2 \cdot 0.2588 = 0.5176$.

$\frac{\alpha_2}{2} \approx arcsin(0.5176) \approx 31.17^\circ$.

$\alpha_2 \approx 2 \cdot 31.17^\circ \approx 62.34^\circ$.

Ответ: $\alpha_2 = 2 \cdot arcsin(2 \cdot sin(15^\circ)) \approx 62.34^\circ$.