Номер 3.14, страница 111 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.14. Две стороны остроугольного треугольника равны 6 см и 8 см, а синус угла между ними 0,6. Найдите синус двух других его углов и третью сторону.

Обозначим данный треугольник как $ABC$. Пусть стороны $b = 6$ см, $c = 8$ см, а угол между ними - $\angle A$. По условию, $\sin(A) = 0.6$ и треугольник является остроугольным.

Сначала найдем третью сторону $a$ (противолежащую углу $A$), используя теорему косинусов: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$.

Для этого нам нужен $\cos(A)$. Из основного тригонометрического тождества $\sin^2(A) + \cos^2(A) = 1$ получаем:$\cos^2(A) = 1 - \sin^2(A) = 1 - (0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64$.Таким образом, $\cos(A) = \pm\sqrt{0.64} = \pm 0.8$.

Поскольку треугольник по условию остроугольный, все его углы должны быть меньше $90^\circ$. Косинус острого угла положителен, поэтому мы должны выбрать $\cos(A) = 0.8$.

Теперь можем вычислить сторону $a$:$a^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 0.8 = 36 + 64 - 96 \cdot 0.8 = 100 - 76.8 = 23.2$.Отсюда, третья сторона $a = \sqrt{23.2}$ см.

Далее найдем синусы двух других углов, $B$ и $C$, используя теорему синусов: $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$.

Синус угла $B$, противолежащего стороне $b=6$ см:$\sin(B) = \frac{b \cdot \sin(A)}{a} = \frac{6 \cdot 0.6}{\sqrt{23.2}} = \frac{3.6}{\sqrt{23.2}}$.

Синус угла $C$, противолежащего стороне $c=8$ см:$\sin(C) = \frac{c \cdot \sin(A)}{a} = \frac{8 \cdot 0.6}{\sqrt{23.2}} = \frac{4.8}{\sqrt{23.2}}$.

Важное замечание: необходимо проверить, действительно ли полученный треугольник является остроугольным, как того требует условие. Треугольник является остроугольным, если квадрат его наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон. В нашем случае стороны равны $a=\sqrt{23.2} \approx 4.82$ см, $b=6$ см, $c=8$ см. Наибольшая сторона — $c=8$ см.Проверим неравенство $c^2 < a^2 + b^2$:$8^2 < (\sqrt{23.2})^2 + 6^2$$64 < 23.2 + 36$$64 < 59.2$Это неравенство неверно ($64 > 59.2$), что означает, что угол $C$ (противолежащий наибольшей стороне) является тупым. Таким образом, не существует остроугольного треугольника с заданными параметрами. Задача содержит внутреннее противоречие. Тем не менее, если проигнорировать условие об остроугольности и найти требуемые величины, то они будут такими, как вычислено выше.

Ответ:
Третья сторона: $a = \sqrt{23.2}$ см.
Синус угла, противолежащего стороне 6 см: $\sin(B) = \frac{3.6}{\sqrt{23.2}}$ (или, после рационализации, $\frac{9\sqrt{23.2}}{58}$).
Синус угла, противолежащего стороне 8 см: $\sin(C) = \frac{4.8}{\sqrt{23.2}}$ (или, после рационализации, $\frac{6\sqrt{23.2}}{29}$).