Номер 3.9, страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.9. Найдите длину высоты $CD$ и площадь треугольника $ABC$, если:

1) $AB=2 \text{ см}$, $AC=7 \text{ см}$, $BC=6 \text{ см}$;

2) $AB=4 \text{ см}$, $AC=6 \text{ см}$, $BC=5 \text{ см}$;

3) $AB=0,3 \text{ м}$, $AC=0,4 \text{ м}$, $BC=0,6 \text{ м}$;

4) $AB=13 \text{ дм}$, $AC=12 \text{ дм}$, $BC=5 \text{ дм}$.

1) Для нахождения площади треугольника $ABC$ воспользуемся формулой Герона, так как известны все три стороны: $a = BC = 6$ см, $b = AC = 7$ см, $c = AB = 2$ см.
Сначала вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+7+2}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.
Теперь найдем площадь $S$:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{7.5(7.5-6)(7.5-7)(7.5-2)} = \sqrt{7.5 \cdot 1.5 \cdot 0.5 \cdot 5.5}$
$S = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{2}} = \sqrt{\frac{495}{16}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 55}}{4} = \frac{3\sqrt{55}}{4}$ см².
Высота $CD$ проведена к стороне $AB$. Площадь треугольника также можно выразить через высоту и основание: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$.
Отсюда найдем длину высоты $CD$:
$CD = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot \frac{3\sqrt{55}}{4}}{2} = \frac{3\sqrt{55}}{4}$ см.
Ответ: площадь треугольника $S = \frac{3\sqrt{55}}{4}$ см², длина высоты $CD = \frac{3\sqrt{55}}{4}$ см.

2) Даны стороны треугольника: $a = BC = 5$ см, $b = AC = 6$ см, $c = AB = 4$ см.
Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+4}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.
Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{7.5(7.5-5)(7.5-6)(7.5-4)} = \sqrt{7.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5 \cdot 3.5}$
$S = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{15 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 7}{16}} = \sqrt{\frac{225 \cdot 7}{16}} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$ см².
Найдем высоту $CD$ из формулы площади $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$:
$CD = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}}{4} = \frac{\frac{15\sqrt{7}}{2}}{4} = \frac{15\sqrt{7}}{8}$ см.
Ответ: площадь треугольника $S = \frac{15\sqrt{7}}{4}$ см², длина высоты $CD = \frac{15\sqrt{7}}{8}$ см.

3) Даны стороны треугольника: $a = BC = 0.6$ м, $b = AC = 0.4$ м, $c = AB = 0.3$ м.
Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{0.6+0.4+0.3}{2} = \frac{1.3}{2} = 0.65$ м.
Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{0.65(0.65-0.6)(0.65-0.4)(0.65-0.3)} = \sqrt{0.65 \cdot 0.05 \cdot 0.25 \cdot 0.35}$
$S = \sqrt{\frac{65}{100} \cdot \frac{5}{100} \cdot \frac{25}{100} \cdot \frac{35}{100}} = \frac{\sqrt{65 \cdot 5 \cdot 25 \cdot 35}}{100^2} = \frac{\sqrt{(13 \cdot 5) \cdot 5 \cdot 5^2 \cdot (5 \cdot 7)}}{10000} = \frac{5^2\sqrt{13 \cdot 5 \cdot 7}}{10000} = \frac{25\sqrt{455}}{10000} = \frac{\sqrt{455}}{400}$ м².
Найдем высоту $CD$ из формулы площади $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$:
$CD = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{455}}{400}}{0.3} = \frac{\frac{\sqrt{455}}{200}}{3/10} = \frac{\sqrt{455}}{200} \cdot \frac{10}{3} = \frac{\sqrt{455}}{60}$ м.
Ответ: площадь треугольника $S = \frac{\sqrt{455}}{400}$ м², длина высоты $CD = \frac{\sqrt{455}}{60}$ м.

4) Даны стороны треугольника: $a = BC = 5$ дм, $b = AC = 12$ дм, $c = AB = 13$ дм.
Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним сумму квадратов меньших сторон с квадратом большей стороны:
$a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
$c^2 = 13^2 = 169$.
Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, а сторона $AB$ - его гипотенуза.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ дм².
Высота $CD$ проведена к гипотенузе $AB$. Найдем ее длину из формулы площади $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$:
$CD = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 30}{13} = \frac{60}{13}$ дм.
Ответ: площадь треугольника $S = 30$ дм², длина высоты $CD = \frac{60}{13}$ дм.