Страница 110 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.4. Две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол, противолежащий третьей стороне, равен 45°. Найдите третью сторону треугольника.

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться теоремой косинусов. Пусть две известные стороны треугольника равны $a = 5$ см и $b = 7$ см, а третья, неизвестная сторона, — $c$. Угол, противолежащий стороне $c$ (то есть угол между сторонами $a$ и $b$), по условию равен $\gamma = 45°$.

Для наглядности представим треугольник на схеме:

Теорема косинусов гласит, что квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Формула для нахождения стороны $c$ выглядит так:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

Теперь подставим известные значения в формулу. Нам известно, что значение косинуса $45°$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(45°)$

Выполним вычисления:

$c^2 = 25 + 49 - 70 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 74 - 35\sqrt{2}$

Чтобы найти длину стороны $c$, извлечем квадратный корень из полученного выражения:

$c = \sqrt{74 - 35\sqrt{2}}$

Это точное значение длины третьей стороны треугольника.

Ответ: $\sqrt{74 - 35\sqrt{2}}$ см.

3.5. Сторона треугольника равна $5\sqrt{3}$ м, а прилежащие к ней углы $45^{\circ}$ и $75^{\circ}$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Для решения задачи воспользуемся расширенной теоремой синусов. Пусть нам дан треугольник, у которого сторона $c = 5\sqrt{3}$ м, а прилежащие к ней углы $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 75^\circ$.

1. Найдем третий угол треугольника, $\gamma$, который находится напротив известной нам стороны $c$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Расширенная теорема синусов устанавливает соотношение между стороной треугольника, синусом противолежащего ей угла и радиусом $R$ описанной окружности:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$.

3. Используем часть теоремы, связывающую известную нам сторону $c$, противолежащий ей угол $\gamma$ и радиус описанной окружности $R$:
$\frac{c}{\sin \gamma} = 2R$.

4. Подставим в формулу известные значения. Мы знаем, что $c = 5\sqrt{3}$ м и $\gamma = 60^\circ$. Значение синуса $60^\circ$ является табличным: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$2R = \frac{5\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$.

5. Упростим полученное выражение, чтобы найти диаметр $2R$:
$2R = 5\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 5 \cdot 2 = 10$ м.

6. Теперь найдем радиус $R$, разделив диаметр на 2:
$R = \frac{10}{2} = 5$ м.

Ответ: 5 м.

3.6. Площадь треугольника равна $44 \text{ см}^2$. Найдите угол треугольника, заключенный между его сторонами, равными 8 см и 11 см.

Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления площади треугольника через две его стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\alpha$, где $S$ — площадь треугольника, $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\alpha$ — угол, заключенный между этими сторонами.

По условию задачи нам даны следующие значения:площадь $S = 44$ см²,длина одной стороны $a = 8$ см,длина второй стороны $b = 11$ см.

Подставим известные величины в формулу:

$44 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 11 \cdot \sin\alpha$

Теперь упростим полученное выражение. Сначала вычислим произведение в правой части:

$44 = 4 \cdot 11 \cdot \sin\alpha$

$44 = 44 \cdot \sin\alpha$

Чтобы найти $\sin\alpha$, разделим обе части уравнения на 44:

$\sin\alpha = \frac{44}{44}$

$\sin\alpha = 1$

Угол в треугольнике может быть в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом диапазоне синус равен 1 только для угла $90^\circ$. Следовательно, искомый угол $\alpha$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

3.7. Стороны параллелограмма равны 4 см и $2\sqrt{3}$ см, а его площадь равна 12 см$^2$. Найдите острый угол параллелограмма.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади параллелограмма через две стороны и угол между ними. Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а угол между ними — $\alpha$.

По условию задачи имеем:

Сторона $a = 4$ см.

Сторона $b = 2\sqrt{3}$ см.

Площадь $S = 12$ см$^2$.

Формула площади параллелограмма выглядит так:

$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти синус угла $\alpha$:

$12 = 4 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sin(\alpha)$

Выполним умножение в правой части уравнения:

$12 = 8\sqrt{3} \cdot \sin(\alpha)$

Выразим из этого уравнения $\sin(\alpha)$:

$\sin(\alpha) = \frac{12}{8\sqrt{3}}$

Сократим дробь на 4:

$\sin(\alpha) = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\sin(\alpha) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6}$

Снова сократим дробь, на этот раз на 3:

$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение синуса $\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствует двум углам в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$: $60^\circ$ и $120^\circ$. Эти два угла являются смежными углами параллелограмма. По условию, нам нужно найти острый угол, то есть угол, который меньше $90^\circ$.

Следовательно, острый угол параллелограмма равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

3.8. В треугольнике даны стороны $a$, $b$ и угол $\alpha$, противолежащий стороне $a$. Найдите угол $\beta$, противолежащий стороне $b$, если:

1) $a=3$ м, $b=5$ м, $\alpha=30^\circ$;

2) $a=8$ м, $b=7$ м, $\alpha=60^\circ$;

3) $a=2\sqrt{2}$ см, $b=3$ см, $\alpha=45^\circ$;

4) $a=6$ см, $b=2\sqrt{3}$ см, $\alpha=120^\circ$.

Для решения всех подпунктов задачи используется теорема синусов. Для любого треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и противолежащими им углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ соответственно, справедливо соотношение:

$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} $

Из этого соотношения можно выразить синус искомого угла $\beta$ через известные величины:

$ \sin\beta = \frac{b \cdot \sin\alpha}{a} $

После нахождения значения $\sin\beta$ нужно определить сам угол $\beta$. Важно помнить, что в треугольнике угол может быть от $0^\circ$ до $180^\circ$. Если $\sin\beta = y$, где $0 < y < 1$, то может существовать два угла: острый $\beta_1 = \arcsin(y)$ и тупой $\beta_2 = 180^\circ - \arcsin(y)$. Возможность существования второго (тупого) угла проверяется условием $\alpha + \beta_2 < 180^\circ$.

1) Дано: $a=3$ м, $b=5$ м, $\alpha=30^\circ$.

Подставляем значения в формулу для $\sin\beta$:

$ \sin\beta = \frac{5 \cdot \sin30^\circ}{3} $

Зная, что $ \sin30^\circ = \frac{1}{2} $, получаем:

$ \sin\beta = \frac{5 \cdot \frac{1}{2}}{3} = \frac{5}{6} $

Так как $ 0 < \frac{5}{6} < 1 $, существует два возможных значения для угла $\beta$:

1. Острый угол: $ \beta_1 = \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) $.

2. Тупой угол: $ \beta_2 = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) $.

Проверим, возможен ли второй случай. Сумма углов $\alpha + \beta_2$ должна быть меньше $180^\circ$:

$ \alpha + \beta_2 = 30^\circ + 180^\circ - \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) < 180^\circ $

$ 30^\circ < \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) $

Это неравенство верно, так как $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} = \frac{3}{6} $, а $ \frac{3}{6} < \frac{5}{6} $. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: $ \beta = \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) $ или $ \beta = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{5}{6}\right) $.

2) Дано: $a=8$ м, $b=7$ м, $\alpha=60^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$ \sin\beta = \frac{7 \cdot \sin60^\circ}{8} $

Зная, что $ \sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:

$ \sin\beta = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{8} = \frac{7\sqrt{3}}{16} $

В данном случае сторона $a$ больше стороны $b$ ($8 > 7$). В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, поэтому $\alpha > \beta$.

Так как $\alpha = 60^\circ$, то угол $\beta$ должен быть меньше $60^\circ$, то есть он может быть только острым. Тупой угол $\beta_2 = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{7\sqrt{3}}{16}\right)$ будет больше $90^\circ$ и, следовательно, больше $60^\circ$, что противоречит условию $\alpha > \beta$.

Поэтому существует только одно решение.

Ответ: $ \beta = \arcsin\left(\frac{7\sqrt{3}}{16}\right) $.

3) Дано: $a=2\sqrt{2}$ см, $b=3$ см, $\alpha=45^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$ \sin\beta = \frac{3 \cdot \sin45^\circ}{2\sqrt{2}} $

Зная, что $ \sin45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $, получаем:

$ \sin\beta = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = \frac{3}{4} $

Так как $ 0 < \frac{3}{4} < 1 $, существует два возможных значения для угла $\beta$:

1. Острый угол: $ \beta_1 = \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) $.

2. Тупой угол: $ \beta_2 = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) $.

Проверим возможность второго случая. Условие $\alpha + \beta_2 < 180^\circ$:

$ 45^\circ + 180^\circ - \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) < 180^\circ $

$ 45^\circ < \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) $

Это неравенство верно, так как $ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 $, а $ \frac{3}{4} = 0.75 $. Так как $0.707 < 0.75$, то и $45^\circ < \arcsin\left(\frac{3}{4}\right)$.

Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: $ \beta = \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) $ или $ \beta = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{3}{4}\right) $.

4) Дано: $a=6$ см, $b=2\sqrt{3}$ см, $\alpha=120^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$ \sin\beta = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin120^\circ}{6} $

Зная, что $ \sin120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:

$ \sin\beta = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{6} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $

Из уравнения $\sin\beta = \frac{1}{2}$ возможны два угла: $\beta_1 = 30^\circ$ и $\beta_2 = 150^\circ$.

Проверим условие $\alpha + \beta < 180^\circ$ для каждого случая, учитывая, что $\alpha = 120^\circ$:

1. Для $\beta_1 = 30^\circ$: $ \alpha + \beta_1 = 120^\circ + 30^\circ = 150^\circ $. Так как $150^\circ < 180^\circ$, это решение является действительным.

2. Для $\beta_2 = 150^\circ$: $ \alpha + \beta_2 = 120^\circ + 150^\circ = 270^\circ $. Так как $270^\circ > 180^\circ$, такое решение невозможно.

Таким образом, задача имеет только одно решение.

Ответ: $ \beta = 30^\circ $.

3.9. Найдите длину высоты $CD$ и площадь треугольника $ABC$, если:

1) $AB=2 \text{ см}$, $AC=7 \text{ см}$, $BC=6 \text{ см}$;

2) $AB=4 \text{ см}$, $AC=6 \text{ см}$, $BC=5 \text{ см}$;

3) $AB=0,3 \text{ м}$, $AC=0,4 \text{ м}$, $BC=0,6 \text{ м}$;

4) $AB=13 \text{ дм}$, $AC=12 \text{ дм}$, $BC=5 \text{ дм}$.

1) Для нахождения площади треугольника $ABC$ воспользуемся формулой Герона, так как известны все три стороны: $a = BC = 6$ см, $b = AC = 7$ см, $c = AB = 2$ см.
Сначала вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+7+2}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.
Теперь найдем площадь $S$:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{7.5(7.5-6)(7.5-7)(7.5-2)} = \sqrt{7.5 \cdot 1.5 \cdot 0.5 \cdot 5.5}$
$S = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{2}} = \sqrt{\frac{495}{16}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 55}}{4} = \frac{3\sqrt{55}}{4}$ см².
Высота $CD$ проведена к стороне $AB$. Площадь треугольника также можно выразить через высоту и основание: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$.
Отсюда найдем длину высоты $CD$:
$CD = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot \frac{3\sqrt{55}}{4}}{2} = \frac{3\sqrt{55}}{4}$ см.
Ответ: площадь треугольника $S = \frac{3\sqrt{55}}{4}$ см², длина высоты $CD = \frac{3\sqrt{55}}{4}$ см.

2) Даны стороны треугольника: $a = BC = 5$ см, $b = AC = 6$ см, $c = AB = 4$ см.
Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+4}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ см.
Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{7.5(7.5-5)(7.5-6)(7.5-4)} = \sqrt{7.5 \cdot 2.5 \cdot 1.5 \cdot 3.5}$
$S = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{15 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 7}{16}} = \sqrt{\frac{225 \cdot 7}{16}} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$ см².
Найдем высоту $CD$ из формулы площади $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$:
$CD = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot \frac{15\sqrt{7}}{4}}{4} = \frac{\frac{15\sqrt{7}}{2}}{4} = \frac{15\sqrt{7}}{8}$ см.
Ответ: площадь треугольника $S = \frac{15\sqrt{7}}{4}$ см², длина высоты $CD = \frac{15\sqrt{7}}{8}$ см.

3) Даны стороны треугольника: $a = BC = 0.6$ м, $b = AC = 0.4$ м, $c = AB = 0.3$ м.
Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{0.6+0.4+0.3}{2} = \frac{1.3}{2} = 0.65$ м.
Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{0.65(0.65-0.6)(0.65-0.4)(0.65-0.3)} = \sqrt{0.65 \cdot 0.05 \cdot 0.25 \cdot 0.35}$
$S = \sqrt{\frac{65}{100} \cdot \frac{5}{100} \cdot \frac{25}{100} \cdot \frac{35}{100}} = \frac{\sqrt{65 \cdot 5 \cdot 25 \cdot 35}}{100^2} = \frac{\sqrt{(13 \cdot 5) \cdot 5 \cdot 5^2 \cdot (5 \cdot 7)}}{10000} = \frac{5^2\sqrt{13 \cdot 5 \cdot 7}}{10000} = \frac{25\sqrt{455}}{10000} = \frac{\sqrt{455}}{400}$ м².
Найдем высоту $CD$ из формулы площади $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD$:
$CD = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{455}}{400}}{0.3} = \frac{\frac{\sqrt{455}}{200}}{3/10} = \frac{\sqrt{455}}{200} \cdot \frac{10}{3} = \frac{\sqrt{455}}{60}$ м.
Ответ: площадь треугольника $S = \frac{\sqrt{455}}{400}$ м², длина высоты $CD = \frac{\sqrt{455}}{60}$ м.

4) Даны стороны треугольника: $a = BC = 5$ дм, $b = AC = 12$ дм, $c = AB = 13$ дм.
Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним сумму квадратов меньших сторон с квадратом большей стороны:
$a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.
$c^2 = 13^2 = 169$.
Поскольку $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$, а сторона $AB$ - его гипотенуза.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ дм².
Высота $CD$ проведена к гипотенузе $AB$. Найдем ее длину из формулы площади $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$:
$CD = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 30}{13} = \frac{60}{13}$ дм.
Ответ: площадь треугольника $S = 30$ дм², длина высоты $CD = \frac{60}{13}$ дм.

3.10. Найдите по стороне $a$ и углу $\alpha$, противолежащему этой стороне, радиус окружности, описанной около данного треугольника, если:

1) $a=5$ м, $\alpha=30^\circ$;

2) $a=3\sqrt{2}$ см, $\alpha=45^\circ$;

3) $a=0,6$ дм, $\alpha=150^\circ$;

4) $a=21$ см, $\alpha=60^\circ$.

Для нахождения радиуса $R$ окружности, описанной около треугольника, воспользуемся следствием из теоремы синусов. Теорема синусов утверждает, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру ($2R$) описанной окружности:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

Отсюда радиус описанной окружности можно найти по формуле:

$ R = \frac{a}{2 \sin \alpha} $

Применим эту формулу для каждого случая.

1) Дано: $a=5$ м, $\alpha=30^{\circ}$.

Найдем радиус $R$:

$ R = \frac{5}{2 \sin 30^{\circ}} $

Так как $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$, то:

$ R = \frac{5}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{5}{1} = 5 $ м.

Ответ: 5 м.

2) Дано: $a=3\sqrt{2}$ см, $\alpha=45^{\circ}$.

Найдем радиус $R$:

$ R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \sin 45^{\circ}} $

Так как $\sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$ R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 $ см.

Ответ: 3 см.

3) Дано: $a=0,6$ дм, $\alpha=150^{\circ}$.

Найдем радиус $R$:

$ R = \frac{0,6}{2 \sin 150^{\circ}} $

Используя формулу приведения, $\sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.

$ R = \frac{0,6}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{0,6}{1} = 0,6 $ дм.

Ответ: 0,6 дм.

4) Дано: $a=21$ см, $\alpha=60^{\circ}$.

Найдем радиус $R$:

$ R = \frac{21}{2 \sin 60^{\circ}} $

Так как $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$ R = \frac{21}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{21}{\sqrt{3}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$ R = \frac{21 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{21\sqrt{3}}{3} = 7\sqrt{3} $ см.

Ответ: $7\sqrt{3}$ см.

3.11. Найдите неизвестные элементы треугольника ABC, если:

1) $a=3, c=2, \angle B=60^\circ;$

2) $b=3, c=4, \angle A=135^\circ;$

3) $a=2,4, b=1,3, \angle C=30^\circ;$

4) $a=0,15, b=0,62, \angle B=150^\circ;$

5) $a=4, b=5, c=6;$

6) $a=12, b=5, c=13;$

7) $a=24,6, \angle B=45^\circ, \angle C=70^\circ;$

8) $a=16, b=10, \angle A=80^\circ;$

9) $c=14, \angle A=60^\circ, \angle B=40^\circ;$

10) $b=4,5, \angle A=30^\circ, \angle C=75^\circ.$

1) Дано: $a=3$, $c=2$, $\angle B=60^\circ$.
Неизвестные элементы: $b, \angle A, \angle C$.
Это случай "две стороны и угол между ними" (SAS).
1. Найдем сторону $b$ по теореме косинусов:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$.
$b = \sqrt{7}$.
2. Найдем угол $\angle A$ по теореме косинусов, чтобы избежать неоднозначности:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(\sqrt{7})^2 + 2^2 - 3^2}{2 \cdot \sqrt{7} \cdot 2} = \frac{7+4-9}{4\sqrt{7}} = \frac{2}{4\sqrt{7}} = \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{14}$.
$\angle A = \arccos\left(\frac{\sqrt{7}}{14}\right) \approx 79.1^\circ$.
3. Найдем угол $\angle C$ из свойства суммы углов треугольника:
$\angle C = 180^\circ - \angle B - \angle A \approx 180^\circ - 60^\circ - 79.1^\circ = 40.9^\circ$.
Ответ: $b=\sqrt{7} \approx 2.65$, $\angle A \approx 79.1^\circ$, $\angle C \approx 40.9^\circ$.

2) Дано: $b=3$, $c=4$, $\angle A=135^\circ$.
Неизвестные элементы: $a, \angle B, \angle C$.
Это случай "две стороны и угол между ними" (SAS).
1. Найдем сторону $a$ по теореме косинусов:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos 135^\circ = 9 + 16 - 24 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 25 + 12\sqrt{2}$.
$a = \sqrt{25 + 12\sqrt{2}} \approx \sqrt{25 + 12 \cdot 1.414} = \sqrt{41.968} \approx 6.48$.
2. Найдем угол $\angle B$ по теореме синусов. Так как $\angle A$ тупой, то $\angle B$ и $\angle C$ острые, поэтому решение единственное.
$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \implies \sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{3 \sin 135^\circ}{\sqrt{25 + 12\sqrt{2}}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{25 + 12\sqrt{2}}} \approx \frac{2.121}{6.48} \approx 0.3273$.
$\angle B = \arcsin(0.3273) \approx 19.1^\circ$.
3. Найдем угол $\angle C$ из свойства суммы углов треугольника:
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 135^\circ - 19.1^\circ = 25.9^\circ$.
Ответ: $a = \sqrt{25 + 12\sqrt{2}} \approx 6.48$, $\angle B \approx 19.1^\circ$, $\angle C \approx 25.9^\circ$.

3) Дано: $a=2.4$, $b=1.3$, $\angle C=30^\circ$.
Неизвестные элементы: $c, \angle A, \angle B$.
Это случай "две стороны и угол между ними" (SAS).
1. Найдем сторону $c$ по теореме косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = (2.4)^2 + (1.3)^2 - 2 \cdot 2.4 \cdot 1.3 \cdot \cos 30^\circ = 5.76 + 1.69 - 6.24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7.45 - 3.12\sqrt{3}$.
$c = \sqrt{7.45 - 3.12\sqrt{3}} \approx \sqrt{7.45 - 5.404} = \sqrt{2.046} \approx 1.43$.
2. Найдем угол $\angle A$ по теореме синусов:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies \sin A = \frac{a \sin C}{c} \approx \frac{2.4 \cdot \sin 30^\circ}{1.43} = \frac{2.4 \cdot 0.5}{1.43} = \frac{1.2}{1.43} \approx 0.839$.
Возможны два угла: $\angle A_1 \approx \arcsin(0.839) \approx 57.0^\circ$ и $\angle A_2 \approx 180^\circ - 57.0^\circ = 123.0^\circ$.
Проверим, какой из них верный. У нас $a=2.4 > c \approx 1.43 > b=1.3$, значит должно быть $\angle A > \angle C > \angle B$.
Если $\angle A \approx 123.0^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - 30^\circ - 123.0^\circ = 27.0^\circ$. Тогда $\angle A > \angle C > \angle B$ ($123.0^\circ > 30^\circ > 27.0^\circ$), что соответствует порядку сторон. Этот вариант верный.
(Если бы мы взяли $\angle A \approx 57.0^\circ$, то $\angle B \approx 180^\circ - 30^\circ - 57.0^\circ = 93.0^\circ$, что привело бы к $\angle B > \angle A > \angle C$, а это противоречит $bОтвет: $c \approx 1.43$, $\angle A \approx 123.0^\circ$, $\angle B \approx 27.0^\circ$.

4) Дано: $a=0.15$, $b=0.62$, $\angle B=150^\circ$.
Неизвестные элементы: $c, \angle A, \angle C$.
Это случай "две стороны и угол не между ними" (SSA).
1. Найдем угол $\angle A$ по теореме синусов:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies \sin A = \frac{a \sin B}{b} = \frac{0.15 \cdot \sin 150^\circ}{0.62} = \frac{0.15 \cdot 0.5}{0.62} = \frac{0.075}{0.62} \approx 0.121$.
Так как $\angle B$ тупой, $\angle A$ может быть только острым. $\angle A = \arcsin(0.121) \approx 7.0^\circ$.
2. Найдем угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - \angle B - \angle A \approx 180^\circ - 150^\circ - 7.0^\circ = 23.0^\circ$.
3. Найдем сторону $c$ по теореме синусов:
$\frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} \implies c = \frac{b \sin C}{\sin B} \approx \frac{0.62 \cdot \sin 23.0^\circ}{\sin 150^\circ} = \frac{0.62 \cdot 0.3907}{0.5} \approx 0.485$.
Ответ: $\angle A \approx 7.0^\circ$, $\angle C \approx 23.0^\circ$, $c \approx 0.49$.

5) Дано: $a=4, b=5, c=6$.
Неизвестные элементы: $\angle A, \angle B, \angle C$.
Это случай "три стороны" (SSS). Используем теорему косинусов.
1. $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 6^2 - 4^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{25+36-16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4} = 0.75$.
$\angle A = \arccos(0.75) \approx 41.4^\circ$.
2. $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{4^2 + 6^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 6} = \frac{16+36-25}{48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16} = 0.5625$.
$\angle B = \arccos(0.5625) \approx 55.8^\circ$.
3. $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 41.4^\circ - 55.8^\circ = 82.8^\circ$.
Ответ: $\angle A \approx 41.4^\circ$, $\angle B \approx 55.8^\circ$, $\angle C \approx 82.8^\circ$.

6) Дано: $a=12, b=5, c=13$.
Неизвестные элементы: $\angle A, \angle B, \angle C$.
Это случай "три стороны" (SSS). Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:
$a^2 + b^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$.
$c^2 = 13^2 = 169$.
Так как $a^2 + b^2 = c^2$, треугольник является прямоугольным, и $\angle C = 90^\circ$.
1. $\sin A = \frac{a}{c} = \frac{12}{13} \implies \angle A = \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) \approx 67.4^\circ$.
2. $\sin B = \frac{b}{c} = \frac{5}{13} \implies \angle B = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) \approx 22.6^\circ$.
Проверка: $67.4^\circ + 22.6^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.
Ответ: $\angle A \approx 67.4^\circ$, $\angle B \approx 22.6^\circ$, $\angle C = 90^\circ$.

7) Дано: $a=24.6, \angle B=45^\circ, \angle C=70^\circ$.
Неизвестные элементы: $\angle A, b, c$.
Это случай "сторона и два прилежащих угла" (ASA).
1. Найдем угол $\angle A$:
$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 70^\circ = 65^\circ$.
2. Найдем стороны $b$ и $c$ по теореме синусов:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{24.6 \sin 45^\circ}{\sin 65^\circ} \approx \frac{24.6 \cdot 0.7071}{0.9063} \approx 19.19$.
$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{24.6 \sin 70^\circ}{\sin 65^\circ} \approx \frac{24.6 \cdot 0.9397}{0.9063} \approx 25.50$.
Ответ: $\angle A = 65^\circ$, $b \approx 19.2$, $c \approx 25.5$.

8) Дано: $a=16, b=10, \angle A=80^\circ$.
Неизвестные элементы: $c, \angle B, \angle C$.
Это случай "две стороны и угол не между ними" (SSA).
1. Найдем угол $\angle B$ по теореме синусов:
$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \implies \sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{10 \sin 80^\circ}{16} \approx \frac{10 \cdot 0.9848}{16} \approx 0.6155$.
Так как $b < a$ ($10 < 16$), то $\angle B < \angle A$ ($< 80^\circ$), значит $\angle B$ - острый. Решение единственное.
$\angle B = \arcsin(0.6155) \approx 38.0^\circ$.
2. Найдем угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 80^\circ - 38.0^\circ = 62.0^\circ$.
3. Найдем сторону $c$ по теореме синусов:
$\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} \implies c = \frac{a \sin C}{\sin A} \approx \frac{16 \sin 62.0^\circ}{\sin 80^\circ} \approx \frac{16 \cdot 0.8829}{0.9848} \approx 14.35$.
Ответ: $\angle B \approx 38.0^\circ$, $\angle C \approx 62.0^\circ$, $c \approx 14.35$.

9) Дано: $c=14, \angle A=60^\circ, \angle B=40^\circ$.
Неизвестные элементы: $\angle C, a, b$.
Это случай "сторона и два прилежащих угла" (ASA).
1. Найдем угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ$.
2. Найдем стороны $a$ и $b$ по теореме синусов:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies a = \frac{c \sin A}{\sin C} = \frac{14 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ} = \frac{14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sin 80^\circ} \approx \frac{12.124}{0.9848} \approx 12.3$.
$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \implies b = \frac{c \sin B}{\sin C} = \frac{14 \sin 40^\circ}{\sin 80^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0.6428}{0.9848} \approx 9.1$.
Ответ: $\angle C = 80^\circ$, $a \approx 12.3$, $b \approx 9.1$.

10) Дано: $b=4.5, \angle A=30^\circ, \angle C=75^\circ$.
Неизвестные элементы: $\angle B, a, c$.
Это случай "сторона и два прилежащих угла" (ASA).
1. Найдем угол $\angle B$:
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ = 75^\circ$.
2. Так как $\angle B = \angle C = 75^\circ$, треугольник равнобедренный, и $c=b=4.5$.
3. Найдем сторону $a$ по теореме синусов:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies a = \frac{b \sin A}{\sin B} = \frac{4.5 \sin 30^\circ}{\sin 75^\circ}$.
$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
$a = \frac{4.5 \cdot 0.5}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})/4} = \frac{2.25 \cdot 4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{9(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{9(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} \approx 2.33$.
Ответ: $\angle B = 75^\circ$, $c=4.5$, $a \approx 2.33$.