Страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое решение треугольника?

2. Какие теоремы применяются при решении треугольника?

1. Что такое решение треугольника?

Решение треугольника — это нахождение всех его неизвестных элементов (то есть трех сторон и трех углов) по известным элементам, которые однозначно определяют треугольник.

Любой треугольник имеет шесть основных элементов: три стороны (длины сторон) и три угла. Для того чтобы решить треугольник, необходимо знать как минимум три из этих шести элементов, причем хотя бы один из них должен быть стороной. Если известны только три угла, то можно найти бесчисленное множество подобных треугольников, но не их конкретные размеры, так как не задан масштаб.

Например, если известны две стороны и угол между ними, можно найти третью сторону и два оставшихся угла. Аналогично, зная одну сторону и два прилежащих к ней угла, можно определить две другие стороны и третий угол.

Ответ: Решение треугольника — это задача по нахождению длин всех его трех сторон и величин всех трех углов по трем известным элементам, где хотя бы один из них является стороной.

2. Какие теоремы применяются при решении треугольника?

При решении произвольных треугольников (не обязательно прямоугольных) используются фундаментальные теоремы тригонометрии. Рассмотрим треугольник ABC со сторонами $a$, $b$, $c$, лежащими против углов $A$, $B$, $C$ соответственно.

Основные теоремы:

Теорема синусов: Утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Формула: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $, где $R$ — радиус описанной окружности.
Применяется, когда известны:
• два угла и одна сторона (для нахождения остальных сторон);
• две стороны и угол, противолежащий одной из них (для нахождения другого угла).

Теорема косинусов: Является обобщением теоремы Пифагора. Она связывает длину одной стороны с длинами двух других сторон и косинусом угла между ними.
Формулы:
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $
$ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B $
$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $
Применяется, когда известны:
• две стороны и угол между ними (для нахождения третьей стороны);
• три стороны (для нахождения любого угла).

Теорема о сумме углов треугольника: Сумма внутренних углов любого треугольника на евклидовой плоскости равна $180^\circ$.
Формула: $ A + B + C = 180^\circ $.
Применяется практически в каждой задаче на решение треугольников, чтобы найти третий угол, если известны два других.

В частном случае, для прямоугольных треугольников (где один из углов равен $90^\circ$), помимо указанных теорем (которые также применимы), часто используют:
• Теорему Пифагора: $ a^2 + b^2 = c^2 $ (где $c$ — гипотенуза).
• Определения тригонометрических функций: синус, косинус, тангенс, которые связывают углы и отношения сторон:
$ \sin A = \frac{a}{c} $, $ \cos A = \frac{b}{c} $, $ \tan A = \frac{a}{b} $.

Ответ: Основными теоремами, применяемыми при решении треугольников, являются теорема синусов, теорема косинусов и теорема о сумме углов треугольника. Для прямоугольных треугольников также широко используется теорема Пифагора и определения тригонометрических функций.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

Пользуясь методом, показанным на рис. 3.5, вычислите высоту: 1) школы; 2) столба.

Поскольку рисунок 3.5 не предоставлен, в решении будет использован наиболее вероятный и распространенный метод определения высоты удаленных объектов — метод, основанный на подобии треугольников, образованных объектом, его тенью и солнечным лучом.

Суть метода заключается в следующем: в одно и то же время измеряются длины теней от двух вертикально стоящих объектов. Один объект — тот, чью высоту нужно определить (например, школа), а второй — эталонный объект с известной высотой (например, человек или шест). Так как солнечные лучи падают параллельно, они образуют одинаковые углы с поверхностью земли. В результате получаются два подобных прямоугольных треугольника.

Из подобия треугольников следует, что отношение высоты объекта к длине его тени есть величина постоянная. Обозначим высоту искомого объекта как $H$ и длину его тени как $L$. Высоту эталонного объекта обозначим как $h$ и длину его тени — $l$. Тогда справедливо соотношение:

$\frac{H}{L} = \frac{h}{l}$

Отсюда искомую высоту $H$ можно выразить через известные величины:

$H = h \cdot \frac{L}{l}$

Для решения задачи необходимо выполнить следующие измерения:

1. Измерить свой рост или высоту любого другого удобного вертикального предмета ($h$).
2. Измерить длину тени от этого предмета ($l$).
3. Измерить длину тени от объекта, высоту которого нужно найти (школы или столба) ($L$).

Важно: все измерения длин теней необходимо проводить в одно и то же время суток, чтобы угол падения солнечных лучей был одинаковым.

1) школы;
Пусть высота школы равна $H_{ш}$, а длина ее тени — $L_{ш}$. В качестве эталона возьмем человека ростом $h = 1,7$ м. Предположим, что длина тени человека в момент измерения составила $l = 2,5$ м, а длина тени от здания школы — $L_{ш} = 18$ м.
Подставим эти значения в формулу:
$H_{ш} = h \cdot \frac{L_{ш}}{l} = 1,7 \text{ м} \cdot \frac{18 \text{ м}}{2,5 \text{ м}} = 1,7 \cdot 7,2 \text{ м} = 12,24 \text{ м}$.
Таким образом, для вычисления высоты школы необходимо измерить свой рост ($h$), длину своей тени ($l$) и длину тени школы ($L_{ш}$) и подставить значения в формулу.
Ответ: Высота школы вычисляется по формуле $H_{ш} = h \cdot \frac{L_{ш}}{l}$, где $h$ и $l$ — соответственно, высота и длина тени эталонного объекта (например, человека), а $L_{ш}$ — длина тени, отбрасываемой школой.

2) столба.
Аналогично, пусть высота столба равна $H_{с}$, а длина его тени — $L_{с}$. Используем те же данные для эталонного объекта: рост человека $h = 1,7$ м и длина его тени $l = 2,5$ м (измерения проводятся в то же время). Предположим, что измеренная длина тени от столба составила $L_{с} = 6$ м.
Подставим значения в формулу:
$H_{с} = h \cdot \frac{L_{с}}{l} = 1,7 \text{ м} \cdot \frac{6 \text{ м}}{2,5 \text{ м}} = 1,7 \cdot 2,4 \text{ м} = 4,08 \text{ м}$.
Для вычисления высоты столба необходимо измерить свой рост ($h$), длину своей тени ($l$) и длину тени столба ($L_{с}$) и подставить значения в формулу.
Ответ: Высота столба вычисляется по формуле $H_{с} = h \cdot \frac{L_{с}}{l}$, где $h$ и $l$ — соответственно, высота и длина тени эталонного объекта (например, человека), а $L_{с}$ — длина тени, отбрасываемой столбом.

3.32. В треугольнике ABC $\angle A=\alpha$, $\angle B=\beta$, $\angle C=\gamma$, $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$. Найдите неизвестные элементы треугольника, если:1)

1) $a=5$, $\alpha=60^\circ$, $\beta=40^\circ$;

2) $b=4,56$, $\alpha=30^\circ$, $\gamma=75^\circ$;

3) $c=14$, $\beta=45^\circ$, $\gamma=70^\circ$;

4) $a=12$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$;

5) $b=9$, $c=17$, $\alpha=80^\circ$;

6) $a=7$, $c=10$, $\beta=120^\circ$;

7) $a=2$, $b=3$, $c=4$;

8) $a=4$, $b=10$, $c=7$.

1) Дано: $a=5$, $\alpha=60^\circ$, $\beta=40^\circ$.
Необходимо найти угол $\gamma$ и стороны $b, c$.
1. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ$.
2. Для нахождения сторон $b$ и $c$ воспользуемся теоремой синусов:
$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$
Из этого соотношения выражаем $b$ и $c$:
$b = \frac{a \cdot \sin\beta}{\sin\alpha} = \frac{5 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{5 \cdot 0.6428}{0.8660} \approx 3.71$
$c = \frac{a \cdot \sin\gamma}{\sin\alpha} = \frac{5 \cdot \sin 80^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{5 \cdot 0.9848}{0.8660} \approx 5.69$
Ответ: $\gamma=80^\circ, b \approx 3.71, c \approx 5.69$.

2) Дано: $b=4.56$, $\alpha=30^\circ$, $\gamma=75^\circ$.
Необходимо найти угол $\beta$ и стороны $a, c$.
1. Найдем угол $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ = 75^\circ$.
2. Поскольку $\beta = \gamma = 75^\circ$, треугольник является равнобедренным, и сторона, лежащая напротив угла $\beta$ (сторона $b$), равна стороне, лежащей напротив угла $\gamma$ (сторона $c$).
$c = b = 4.56$.
3. По теореме синусов найдем сторону $a$:
$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}$
$a = \frac{b \cdot \sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{4.56 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{4.56 \cdot 0.5}{0.9659} \approx 2.36$
Ответ: $\beta=75^\circ, a \approx 2.36, c = 4.56$.

3) Дано: $c=14$, $\beta=45^\circ$, $\gamma=70^\circ$.
Необходимо найти угол $\alpha$ и стороны $a, b$.
1. Найдем угол $\alpha$:
$\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma = 180^\circ - 45^\circ - 70^\circ = 65^\circ$.
2. По теореме синусов найдем стороны $a$ и $b$:
$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$
$a = \frac{c \cdot \sin\alpha}{\sin\gamma} = \frac{14 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 70^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0.9063}{0.9397} \approx 13.50$
$b = \frac{c \cdot \sin\beta}{\sin\gamma} = \frac{14 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 70^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0.7071}{0.9397} \approx 10.53$
Ответ: $\alpha=65^\circ, a \approx 13.50, b \approx 10.53$.

4) Дано: $a=12$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$.
Необходимо найти сторону $c$ и углы $\alpha, \beta$.
1. По теореме косинусов найдем сторону $c$:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 144 + 64 - 192 \cdot 0.5 = 208 - 96 = 112$
$c = \sqrt{112} = 4\sqrt{7} \approx 10.58$
2. Теперь найдем угол $\alpha$, используя теорему косинусов:
$\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + (4\sqrt{7})^2 - 12^2}{2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{7}} = \frac{64 + 112 - 144}{64\sqrt{7}} = \frac{32}{64\sqrt{7}} = \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{14} \approx 0.1890$
$\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{7}}{14}) \approx 79.1^\circ$
3. Найдем угол $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma \approx 180^\circ - 79.1^\circ - 60^\circ = 40.9^\circ$
Ответ: $c = 4\sqrt{7} \approx 10.58, \alpha \approx 79.1^\circ, \beta \approx 40.9^\circ$.

5) Дано: $b=9$, $c=17$, $\alpha=80^\circ$.
Необходимо найти сторону $a$ и углы $\beta, \gamma$.
1. По теореме косинусов найдем сторону $a$:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha = 9^2 + 17^2 - 2 \cdot 9 \cdot 17 \cdot \cos 80^\circ = 81 + 289 - 306 \cos 80^\circ \approx 370 - 306 \cdot 0.1736 = 370 - 53.12 = 316.88$
$a = \sqrt{316.88} \approx 17.80$
2. По теореме синусов найдем угол $\beta$:
$\frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\alpha}{a} \implies \sin\beta = \frac{b \sin\alpha}{a} \approx \frac{9 \sin 80^\circ}{17.80} \approx \frac{9 \cdot 0.9848}{17.80} \approx 0.4979$
$\beta = \arcsin(0.4979) \approx 29.9^\circ$
3. Найдем угол $\gamma$:
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 80^\circ - 29.9^\circ = 70.1^\circ$
Ответ: $a \approx 17.80, \beta \approx 29.9^\circ, \gamma \approx 70.1^\circ$.

6) Дано: $a=7$, $c=10$, $\beta=120^\circ$.
Необходимо найти сторону $b$ и углы $\alpha, \gamma$.
1. По теореме косинусов найдем сторону $b$:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos\beta = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos 120^\circ = 49 + 100 - 140 \cdot (-0.5) = 149 + 70 = 219$
$b = \sqrt{219} \approx 14.80$
2. По теореме синусов найдем угол $\alpha$:
$\frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} \implies \sin\alpha = \frac{a \sin\beta}{b} = \frac{7 \sin 120^\circ}{\sqrt{219}} \approx \frac{7 \cdot 0.8660}{14.80} \approx 0.4096$
$\alpha = \arcsin(0.4096) \approx 24.2^\circ$
3. Найдем угол $\gamma$:
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 24.2^\circ - 120^\circ = 35.8^\circ$
Ответ: $b = \sqrt{219} \approx 14.80, \alpha \approx 24.2^\circ, \gamma \approx 35.8^\circ$.

7) Дано: $a=2$, $b=3$, $c=4$.
Необходимо найти углы $\alpha, \beta, \gamma$.
1. Проверим, существует ли такой треугольник с помощью неравенства треугольника: $2+3>4$ (Верно), $2+4>3$ (Верно), $3+4>2$ (Верно). Треугольник существует.
2. Найдем углы по теореме косинусов. Рекомендуется начинать с угла, противолежащего наибольшей стороне ($c=4$), чтобы определить, является ли он тупым.
$\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{4+9-16}{12} = \frac{-3}{12} = -0.25$
$\gamma = \arccos(-0.25) \approx 104.5^\circ$
$\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9+16-4}{24} = \frac{21}{24} = 0.875$
$\alpha = \arccos(0.875) \approx 29.0^\circ$
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma \approx 180^\circ - 29.0^\circ - 104.5^\circ = 46.5^\circ$
Ответ: $\alpha \approx 29.0^\circ, \beta \approx 46.5^\circ, \gamma \approx 104.5^\circ$.

8) Дано: $a=4$, $b=10$, $c=7$.
Необходимо найти углы $\alpha, \beta, \gamma$.
1. Проверим неравенство треугольника: $4+7>10$ (Верно), $4+10>7$ (Верно), $10+7>4$ (Верно). Треугольник существует.
2. Найдем углы по теореме косинусов, начиная с угла напротив наибольшей стороны ($b=10$):
$\cos\beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{4^2 + 7^2 - 10^2}{2 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{16+49-100}{56} = \frac{-35}{56} = -0.625$
$\beta = \arccos(-0.625) \approx 128.7^\circ$
$\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{10^2 + 7^2 - 4^2}{2 \cdot 10 \cdot 7} = \frac{100+49-16}{140} = \frac{133}{140} = 0.95$
$\alpha = \arccos(0.95) \approx 18.2^\circ$
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 18.2^\circ - 128.7^\circ = 33.1^\circ$
Ответ: $\alpha \approx 18.2^\circ, \beta \approx 128.7^\circ, \gamma \approx 33.1^\circ$.

3.33. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, стороны которого равны 5 м, 4 м и 3 м.

Пусть даны стороны треугольника $a = 3$ м, $b = 4$ м и $c = 5$ м.

Для нахождения радиуса описанной окружности ($R$) сначала определим тип треугольника. Для этого воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора, и проверим, выполняется ли равенство $a^2 + b^2 = c^2$, где $c$ — наибольшая сторона.

Сумма квадратов двух меньших сторон: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Квадрат наибольшей стороны: $5^2 = 25$.

Поскольку $25 = 25$, равенство $3^2 + 4^2 = 5^2$ выполняется. Это означает, что треугольник является прямоугольным. Стороны длиной 3 м и 4 м — это катеты, а сторона длиной 5 м — гипотенуза.

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, всегда находится на середине его гипотенузы. Соответственно, радиус такой окружности равен половине длины гипотенузы.

Вычислим радиус $R$: $R = \frac{c}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$ м.

Ответ: 2,5 м.

3.34. Стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а острый угол равен $\alpha$. Найдите диагонали параллелограмма, если:

1) $a=3$ м, $b=2$ м, $\alpha=30^\circ$;

2) $a=0,8$ м, $b=0,5$ м, $\alpha=45^\circ$;

3) $a=\frac{3}{4}$ м, $b=\frac{5}{4}$ м, $\alpha=60^\circ$.

Для нахождения диагоналей параллелограмма воспользуемся теоремой косинусов. Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, а острый угол между ними равен $\alpha$. Тогда тупой угол будет равен $180^\circ - \alpha$.

Диагональ $d_1$, лежащая напротив острого угла $\alpha$, может быть найдена как третья сторона треугольника со сторонами $a$, $b$ и углом $\alpha$ между ними. По теореме косинусов:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

$d_1 = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)}$

Диагональ $d_2$, лежащая напротив тупого угла $180^\circ - \alpha$, находится аналогично:

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha)$

Так как $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, формула для второй диагонали принимает вид:

$d_2^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$

$d_2 = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)}$

Теперь применим эти формулы для каждого из случаев.

1) Дано: $a=3$ м, $b=2$ м, $\alpha=30^\circ$.

Значение косинуса: $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Находим меньшую диагональ $d_1$:

$d_1^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos(30^\circ) = 9 + 4 - 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 13 - 6\sqrt{3}$.

$d_1 = \sqrt{13 - 6\sqrt{3}}$ м.

Находим большую диагональ $d_2$:

$d_2^2 = 3^2 + 2^2 + 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos(30^\circ) = 9 + 4 + 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 13 + 6\sqrt{3}$.

$d_2 = \sqrt{13 + 6\sqrt{3}}$ м.

Ответ: $\sqrt{13 - 6\sqrt{3}}$ м и $\sqrt{13 + 6\sqrt{3}}$ м.

2) Дано: $a=0,8$ м, $b=0,5$ м, $\alpha=45^\circ$.

Значение косинуса: $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Находим меньшую диагональ $d_1$:

$d_1^2 = (0,8)^2 + (0,5)^2 - 2 \cdot 0,8 \cdot 0,5 \cdot \cos(45^\circ) = 0,64 + 0,25 - 0,8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,89 - 0,4\sqrt{2}$.

$d_1 = \sqrt{0,89 - 0,4\sqrt{2}}$ м.

Находим большую диагональ $d_2$:

$d_2^2 = (0,8)^2 + (0,5)^2 + 2 \cdot 0,8 \cdot 0,5 \cdot \cos(45^\circ) = 0,64 + 0,25 + 0,8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 0,89 + 0,4\sqrt{2}$.

$d_2 = \sqrt{0,89 + 0,4\sqrt{2}}$ м.

Ответ: $\sqrt{0,89 - 0,4\sqrt{2}}$ м и $\sqrt{0,89 + 0,4\sqrt{2}}$ м.

3) Дано: $a=\frac{3}{4}$ м, $b=\frac{5}{4}$ м, $\alpha=60^\circ$.

Значение косинуса: $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Находим меньшую диагональ $d_1$:

$d_1^2 = (\frac{3}{4})^2 + (\frac{5}{4})^2 - 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \cos(60^\circ) = \frac{9}{16} + \frac{25}{16} - 2 \cdot \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{34}{16} - \frac{15}{16} = \frac{19}{16}$.

$d_1 = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$ м.

Находим большую диагональ $d_2$:

$d_2^2 = (\frac{3}{4})^2 + (\frac{5}{4})^2 + 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \cos(60^\circ) = \frac{9}{16} + \frac{25}{16} + 2 \cdot \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{34}{16} + \frac{15}{16} = \frac{49}{16}$.

$d_2 = \sqrt{\frac{49}{16}} = \frac{7}{4}$ м.

Ответ: $\frac{\sqrt{19}}{4}$ м и $\frac{7}{4}$ м.

3.35. Диагонали параллелограмма равны $c$ и $d$, а угол между ними $\alpha$. Найдите стороны параллелограмма, если:

1) $c=5$ м, $d=6$ м, $\alpha=60^\circ$;

2) $c=22$ см, $d=14$ см, $\alpha=30^\circ$;

3) $c=0,5$ м, $d=1,5$ м, $\alpha=120^\circ$;

4) $c=\frac{4}{3}$ м, $d=\frac{3}{4}$ м, $\alpha=45^\circ$.

Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Диагонали параллелограмма, равные $c$ и $d$, в точке пересечения $O$ делятся пополам. Таким образом, диагонали разбивают параллелограмм на четыре треугольника. Рассмотрим два смежных треугольника, например, $\triangle AOB$ и $\triangle AOD$. Стороны этих треугольников образованы половинами диагоналей ($c/2$ и $d/2$) и сторонами параллелограмма ($a$ и $b$).

Угол между диагоналями равен $\alpha$. Пусть $\angle AOD = \alpha$, тогда смежный с ним угол $\angle AOB = 180^\circ - \alpha$.

Применим теорему косинусов для нахождения сторон параллелограмма.

Для треугольника $\triangle AOD$ (сторона $b = AD$):
$b^2 = AO^2 + DO^2 - 2 \cdot AO \cdot DO \cdot \cos(\angle AOD)$
$b^2 = (\frac{c}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2 - 2 \cdot \frac{c}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \cos(\alpha) = \frac{c^2}{4} + \frac{d^2}{4} - \frac{cd}{2}\cos(\alpha)$

Для треугольника $\triangle AOB$ (сторона $a = AB$):
$a^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\angle AOB)$
Поскольку $\angle AOB = 180^\circ - \alpha$ и $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:
$a^2 = (\frac{c}{2})^2 + (\frac{d}{2})^2 - 2 \cdot \frac{c}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot (-\cos(\alpha)) = \frac{c^2}{4} + \frac{d^2}{4} + \frac{cd}{2}\cos(\alpha)$

Таким образом, формулы для вычисления квадратов сторон параллелограмма: $a^2 = \frac{1}{4}(c^2 + d^2 + 2cd\cos(\alpha))$
$b^2 = \frac{1}{4}(c^2 + d^2 - 2cd\cos(\alpha))$

1) $c=5$ м, $d=6$ м, $\alpha=60^\circ$

Имеем $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.
$a^2 = \frac{1}{4}(5^2 + 6^2 + 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)) = \frac{1}{4}(25 + 36 + 60 \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}(61 + 30) = \frac{91}{4}$
$a = \sqrt{\frac{91}{4}} = \frac{\sqrt{91}}{2}$ м.
$b^2 = \frac{1}{4}(5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)) = \frac{1}{4}(25 + 36 - 60 \cdot \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}(61 - 30) = \frac{31}{4}$
$b = \sqrt{\frac{31}{4}} = \frac{\sqrt{31}}{2}$ м.
Ответ: стороны параллелограмма равны $\frac{\sqrt{31}}{2}$ м и $\frac{\sqrt{91}}{2}$ м.

2) $c=22$ см, $d=14$ см, $\alpha=30^\circ$

Имеем $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$a^2 = \frac{1}{4}(22^2 + 14^2 + 2 \cdot 22 \cdot 14 \cdot \cos(30^\circ)) = \frac{1}{4}(484 + 196 + 616 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4}(680 + 308\sqrt{3}) = 170 + 77\sqrt{3}$
$a = \sqrt{170 + 77\sqrt{3}}$ см.
$b^2 = \frac{1}{4}(22^2 + 14^2 - 2 \cdot 22 \cdot 14 \cdot \cos(30^\circ)) = \frac{1}{4}(484 + 196 - 616 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4}(680 - 308\sqrt{3}) = 170 - 77\sqrt{3}$
$b = \sqrt{170 - 77\sqrt{3}}$ см.
Ответ: стороны параллелограмма равны $\sqrt{170 - 77\sqrt{3}}$ см и $\sqrt{170 + 77\sqrt{3}}$ см.

3) $c=0,5$ м, $d=1,5$ м, $\alpha=120^\circ$

Имеем $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$.
$a^2 = \frac{1}{4}(0,5^2 + 1,5^2 + 2 \cdot 0,5 \cdot 1,5 \cdot \cos(120^\circ)) = \frac{1}{4}(0,25 + 2,25 + 1,5 \cdot (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{4}(2,5 - 0,75) = \frac{1,75}{4} = \frac{7}{16}$
$a = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ м.
$b^2 = \frac{1}{4}(0,5^2 + 1,5^2 - 2 \cdot 0,5 \cdot 1,5 \cdot \cos(120^\circ)) = \frac{1}{4}(0,25 + 2,25 - 1,5 \cdot (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{4}(2,5 + 0,75) = \frac{3,25}{4} = \frac{13}{16}$
$b = \sqrt{\frac{13}{16}} = \frac{\sqrt{13}}{4}$ м.
Ответ: стороны параллелограмма равны $\frac{\sqrt{7}}{4}$ м и $\frac{\sqrt{13}}{4}$ м.

4) $c=\frac{4}{3}$ м, $d=\frac{3}{4}$ м, $\alpha=45^\circ$

Имеем $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$c^2+d^2 = (\frac{4}{3})^2 + (\frac{3}{4})^2 = \frac{16}{9} + \frac{9}{16} = \frac{256+81}{144} = \frac{337}{144}$.
$2cd = 2 \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} = 2$.
$a^2 = \frac{1}{4}(\frac{337}{144} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{337}{144} + \sqrt{2}) = \frac{337 + 144\sqrt{2}}{576}$
$a = \sqrt{\frac{337 + 144\sqrt{2}}{576}} = \frac{\sqrt{337 + 144\sqrt{2}}}{24}$ м.
$b^2 = \frac{1}{4}(\frac{337}{144} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{4}(\frac{337}{144} - \sqrt{2}) = \frac{337 - 144\sqrt{2}}{576}$
$b = \sqrt{\frac{337 - 144\sqrt{2}}{576}} = \frac{\sqrt{337 - 144\sqrt{2}}}{24}$ м.
Ответ: стороны параллелограмма равны $\frac{\sqrt{337 - 144\sqrt{2}}}{24}$ м и $\frac{\sqrt{337 + 144\sqrt{2}}}{24}$ м.

3.36. Найдите сторону $AC$ и площадь треугольника $ABC$, если сторона $AB=12$ см, а прилежащие к ней углы $\angle A=75^\circ$, $\angle B=60^\circ$.

Нахождение стороны AC
В треугольнике ABC известны сторона $AB = 12$ см и два прилежащих к ней угла: $\angle A = 75^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$.
1. Сначала найдем третий угол треугольника, $\angle C$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
2. Для нахождения стороны $AC$ воспользуемся теоремой синусов, согласно которой отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:
$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$
3. Выразим из формулы сторону $AC$ и подставим известные значения:
$AC = \frac{AB \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle C)} = \frac{12 \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(45^\circ)}$
4. Зная табличные значения синусов $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, выполним вычисление:
$AC = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$AC = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{6}}{2} = 6\sqrt{6}$ см.

Ответ: $AC = 6\sqrt{6}$ см.

Нахождение площади треугольника ABC
1. Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Мы используем стороны $AB$, $AC$ и угол $\angle A$ между ними:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$
2. Нам известны: $AB = 12$ см, $AC = 6\sqrt{6}$ см (из предыдущего пункта) и $\angle A = 75^\circ$.
3. Найдем значение $\sin(75^\circ)$, используя формулу синуса суммы углов $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:
$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$
$\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
4. Теперь подставим все значения в формулу площади и вычислим:
$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = 36\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 9\sqrt{6}(\sqrt{6} + \sqrt{2})$
5. Раскроем скобки и упростим выражение:
$S = 9(\sqrt{6}\cdot\sqrt{6} + \sqrt{6}\cdot\sqrt{2}) = 9(6 + \sqrt{12}) = 9(6 + 2\sqrt{3}) = 18(3 + \sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $S = 18(3 + \sqrt{3})$ см$^2$.