Страница 109 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Докажите теорему косинусов. Почему ее называют обобщением теоремы Пифагора?

2. Как найти высоту треугольника, зная длину всех его сторон?

3. Докажите теорему синусов.

4. Как найти диаметр описанной окружности, зная угол и противолежащую сторону?

1. Докажите теорему косинусов. Почему ее называют обобщением теоремы Пифагора?
Теорема косинусов утверждает, что для любого треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$, противолежащим стороне $c$, справедливо равенство: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.

Доказательство:
Расположим треугольник ABC в декартовой системе координат так, чтобы вершина C совпала с началом координат (0, 0), а сторона CB (длиной $a$) лежала на положительной полуоси Ox. В этом случае:
- Координаты вершины C: (0, 0).
- Координаты вершины B: (a, 0).
- Координаты вершины A: ($b \cos(\gamma)$, $b \sin(\gamma)$).

Квадрат длины стороны $c$ (отрезка AB) найдем по формуле расстояния между точками A и B:
$c^2 = (x_A - x_B)^2 + (y_A - y_B)^2 = (b \cos(\gamma) - a)^2 + (b \sin(\gamma) - 0)^2$
Раскроем скобки:
$c^2 = b^2 \cos^2(\gamma) - 2ab \cos(\gamma) + a^2 + b^2 \sin^2(\gamma)$
Сгруппируем слагаемые:
$c^2 = a^2 + b^2(\cos^2(\gamma) + \sin^2(\gamma)) - 2ab \cos(\gamma)$
Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2(\gamma) + \sin^2(\gamma) = 1$, получаем:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.
Теорема доказана.

Обобщение теоремы Пифагора:
Теорему косинусов называют обобщением теоремы Пифагора, потому что теорема Пифагора является ее частным случаем. Если треугольник является прямоугольным и $\gamma = 90^\circ$, то $\cos(\gamma) = \cos(90^\circ) = 0$. Подставив это значение в формулу теоремы косинусов, мы получим:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0$
$c^2 = a^2 + b^2$
Это и есть формула теоремы Пифагора. Таким образом, теорема косинусов применима к любому треугольнику, а не только к прямоугольному.

Ответ: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними ($c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$). Ее называют обобщением теоремы Пифагора, потому что при подстановке в формулу прямого угла ($\cos(90^\circ)=0$) она превращается в теорему Пифагора.

2. Как найти высоту треугольника, зная длину всех его сторон?
Зная длины всех трех сторон треугольника ($a, b, c$), его высоту можно найти через площадь. Алгоритм следующий:
1. Вычисляем полупериметр треугольника $p$: $p = \frac{a+b+c}{2}$.
2. Находим площадь треугольника $S$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
3. Площадь треугольника также равна половине произведения его основания на высоту. Например, для высоты $h_a$, проведенной к стороне $a$, справедливо $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$.
4. Приравнивая два выражения для площади, находим высоту. Например, высота $h_a$, проведенная к стороне $a$, равна:
$h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$.

Аналогично можно найти и другие высоты: $h_b = \frac{2S}{b}$ и $h_c = \frac{2S}{c}$.

Ответ: Высоту треугольника, например, к стороне $a$, можно найти по формуле $h_a = \frac{2}{a} \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a,b,c$ - стороны треугольника, а $p$ - его полупериметр ($p = (a+b+c)/2$).

3. Докажите теорему синусов.
Теорема синусов утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и это отношение равно диаметру ($2R$) описанной окружности:
$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$.

Доказательство:
Доказательство состоит из двух частей.
Часть 1: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
Площадь $S$ треугольника можно выразить тремя способами через синус угла между двумя сторонами:
$S = \frac{1}{2}bc \sin \alpha$, $S = \frac{1}{2}ac \sin \beta$, $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$
Приравнивая эти выражения, получаем: $bc \sin \alpha = ac \sin \beta = ab \sin \gamma$.
Разделим все части равенства на произведение $abc$:
$\frac{bc \sin \alpha}{abc} = \frac{ac \sin \beta}{abc} = \frac{ab \sin \gamma}{abc}$
После сокращения получаем: $\frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}$.
Перевернув дроби, получаем первую часть теоремы.

Часть 2: $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$
Рассмотрим треугольник ABC, вписанный в окружность радиусом $R$. Проведем из вершины B диаметр BD. Соединим точки D и C.

Треугольник BCD является прямоугольным, так как угол $\angle BCD$ опирается на диаметр BD, значит $\angle BCD = 90^\circ$.
Угол $\angle BDC$ равен углу $\angle BAC = \alpha$, так как они являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу BC.
В прямоугольном треугольнике BCD синус угла D равен отношению противолежащего катета BC (сторона $a$) к гипотенузе BD (диаметр $2R$):
$\sin(\angle BDC) = \sin \alpha = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R}$.
Отсюда следует, что $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$.
Объединив результаты, получаем полную теорему синусов.

Ответ: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и это отношение равно диаметру описанной окружности. Доказательство основано на формуле площади треугольника через синус угла и на свойствах вписанных в окружность углов.

4. Как найти диаметр описанной окружности, зная угол и противолежащую сторону?
Найти диаметр описанной окружности можно с помощью теоремы синусов. Эта теорема устанавливает прямую связь между стороной треугольника, синусом противолежащего угла и диаметром описанной окружности.
Согласно теореме синусов:
$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R = D$
где $a$ – длина стороны треугольника, $\alpha$ – величина противолежащего ей угла, $R$ – радиус описанной окружности, а $D$ – ее диаметр.
Таким образом, чтобы найти диаметр, нужно разделить длину известной стороны на синус противолежащего ей угла.

Ответ: Диаметр $D$ описанной окружности можно найти, разделив длину любой стороны треугольника $a$ на синус противолежащего ей угла $\alpha$: $D = \frac{a}{\sin \alpha}$.

3.1. Стороны треугольника равны 3 м, 4 м и 5 м. Найдите косинусы его углов.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов. Пусть стороны треугольника равны $a = 3$ м, $b = 4$ м и $c = 5$ м. Углы, лежащие напротив этих сторон, обозначим соответственно как $α$, $β$ и $γ$.

Нарисуем схему треугольника. Заметим, что стороны удовлетворяют теореме Пифагора ($3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$), а значит, треугольник является прямоугольным. Угол $γ$, лежащий напротив самой длинной стороны (гипотенузы) $c=5$, является прямым углом.

Теорема косинусов для произвольного треугольника связывает длины его сторон с косинусом одного из его углов. Формула для нахождения косинуса угла $α$ выглядит так:

$\cos(α) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Аналогичные формулы можно записать для углов $β$ и $γ$.

Найдем косинус угла $α$, противолежащего стороне $a = 3$

Подставляем известные значения длин сторон в формулу:

$\cos(α) = \frac{4^2 + 5^2 - 3^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 9}{40} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5}$

Найдем косинус угла $β$, противолежащего стороне $b = 4$

Используем соответствующую формулу теоремы косинусов:

$\cos(β) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

Подставляем значения:

$\cos(β) = \frac{3^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 16}{30} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$

Найдем косинус угла $γ$, противолежащего стороне $c = 5$

Используем формулу для угла $γ$:

$\cos(γ) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Подставляем значения:

$\cos(γ) = \frac{3^2 + 4^2 - 5^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9 + 16 - 25}{24} = \frac{0}{24} = 0$

Результат $\cos(γ) = 0$ подтверждает, что угол $γ$ равен $90°$, и треугольник является прямоугольным.

Ответ: косинусы углов треугольника, лежащих напротив сторон 3 м, 4 м и 5 м, равны соответственно $\frac{4}{5}$, $\frac{3}{5}$ и $0$.

3.2. Найдите угол B, если в треугольнике ABC $\angle A = 30^{\circ}$, $AC = 2$ см, $BC = \sqrt{2}$ см.

Для нахождения угла $B$ в треугольнике $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны.

Формула теоремы синусов:

$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

В нашем случае, нам даны:

Угол $ \angle A = 30^\circ $
Сторона $AC$ (противолежащая углу $B$), $b = 2$ см
Сторона $BC$ (противолежащая углу $A$), $a = \sqrt{2}$ см

Подставим известные значения в формулу теоремы синусов:

$ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} $

$ \frac{\sqrt{2}}{\sin 30^\circ} = \frac{2}{\sin B} $

Мы знаем, что значение синуса 30 градусов равно $ \frac{1}{2} $. Подставим это значение в уравнение:

$ \frac{\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sin B} $

$ 2\sqrt{2} = \frac{2}{\sin B} $

Теперь выразим $ \sin B $:

$ \sin B = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $ \sqrt{2} $:

$ \sin B = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Уравнение $ \sin B = \frac{\sqrt{2}}{2} $ имеет два возможных решения для угла в треугольнике (угол должен быть от $0^\circ$ до $180^\circ$):

1. $ \angle B = 45^\circ $

2. $ \angle B = 135^\circ $

Необходимо проверить, могут ли существовать треугольники с такими углами. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

Проверка для $ \angle B = 45^\circ $:

$ \angle A + \angle B = 30^\circ + 45^\circ = 75^\circ $

Сумма двух углов меньше $180^\circ$, значит третий угол $C$ существует и равен $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$. Этот случай возможен.

Проверка для $ \angle B = 135^\circ $:

$ \angle A + \angle B = 30^\circ + 135^\circ = 165^\circ $

Сумма двух углов меньше $180^\circ$, значит третий угол $C$ существует и равен $180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$. Этот случай также возможен.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: $45^\circ$ или $135^\circ$.

3.3. В треугольнике даны стороны $a$, $b$ и угол $\gamma$ между ними. Найдите третью сторону $c$ этого треугольника, если:

1) $a=3$ м, $b=5$ м, $\gamma=30^\circ$;

2) $a=2\sqrt{2}$ м, $b=3$ м, $\gamma=45^\circ$;

3) $a=8$ см, $b=3\sqrt{3}$ см, $\gamma=120^\circ$;

4) $a=4$ см, $b=7$ см, $\gamma=60^\circ$.

Для решения всех пунктов задачи используется теорема косинусов, которая для треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$ имеет вид:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$

1) Дано: $a=3$ м, $b=5$ м, $\gamma=30^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$c^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(30^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, поэтому:

$c^2 = 9 + 25 - 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$c^2 = 34 - 15\sqrt{3}$

Ответ: $c = \sqrt{34 - 15\sqrt{3}}$ м.

2) Дано: $a=2\sqrt{2}$ м, $b=3$ м, $\gamma=45^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$c^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 3 \cdot \cos(45^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, поэтому:

$c^2 = 8 + 9 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$c^2 = 17 - \frac{12 \cdot 2}{2} = 17 - 12$

$c^2 = 5$

Ответ: $c = \sqrt{5}$ м.

3) Дано: $a=8$ см, $b=3\sqrt{3}$ см, $\gamma=120^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$c^2 = 8^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(120^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, поэтому:

$c^2 = 64 + (9 \cdot 3) - 48\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2})$

$c^2 = 64 + 27 + 24\sqrt{3}$

$c^2 = 91 + 24\sqrt{3}$

Ответ: $c = \sqrt{91 + 24\sqrt{3}}$ см.

4) Дано: $a=4$ см, $b=7$ см, $\gamma=60^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$c^2 = 4^2 + 7^2 - 2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ)$

Мы знаем, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, поэтому:

$c^2 = 16 + 49 - 56 \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = 65 - 28$

$c^2 = 37$

Ответ: $c = \sqrt{37}$ см.