Страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.22. Докажите, что против тупого угла лежит наибольшая сторона треугольника.

Для доказательства этого утверждения можно использовать два подхода: один основан на теореме о соотношении сторон и углов треугольника, а другой — на теореме косинусов.

Доказательство (через соотношение углов и сторон)

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, где стороны, противолежащие углам $A$, $B$ и $C$, равны $a$, $b$ и $c$ соответственно. Допустим, что угол $C$ в этом треугольнике является тупым.

1. По определению, тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$. Таким образом, $\angle C > 90^\circ$.
2. Согласно теореме о сумме углов треугольника, $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.
3. Выразим сумму углов $A$ и $B$: $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$. Так как $\angle C > 90^\circ$, то $180^\circ - \angle C < 180^\circ - 90^\circ$, следовательно, $\angle A + \angle B < 90^\circ$.
4. Поскольку углы $A$ и $B$ — это углы треугольника, они должны быть положительными ($\angle A > 0^\circ$, $\angle B > 0^\circ$). Из того, что их сумма меньше $90^\circ$, следует, что каждый из них по отдельности также меньше $90^\circ$. Значит, углы $A$ и $B$ — острые.
5. Таким образом, мы имеем $\angle C > 90^\circ$, $\angle A < 90^\circ$ и $\angle B < 90^\circ$. Отсюда очевидно, что $\angle C$ является наибольшим углом в треугольнике: $\angle C > \angle A$ и $\angle C > \angle B$.
6. Воспользуемся теоремой о соотношении между сторонами и углами треугольника, которая гласит: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
7. Так как $\angle C > \angle A$, то сторона $c$, лежащая против $\angle C$, больше стороны $a$, лежащей против $\angle A$, то есть $c > a$.
8. Так как $\angle C > \angle B$, то сторона $c$ больше стороны $b$, лежащей против $\angle B$, то есть $c > b$.
9. Поскольку сторона $c$ больше каждой из двух других сторон, она является наибольшей стороной треугольника.

Альтернативное доказательство (через теорему косинусов)

Теорема косинусов для стороны $c$ треугольника $ABC$ записывается в виде формулы:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\angle C)$
Пусть угол $C$ — тупой, то есть $90^\circ < \angle C < 180^\circ$. В этом интервале значений косинус угла является отрицательной величиной: $\cos(\angle C) < 0$.
Рассмотрим выражение $-2ab \cos(\angle C)$. Так как длины сторон $a$ и $b$ положительны, а $\cos(\angle C)$ отрицателен, всё это выражение будет положительным:
$-2ab \cos(\angle C) > 0$
Тогда равенство для $c^2$ можно представить как:
$c^2 = a^2 + b^2 + (\text{положительное число})$
Из этого следует, что $c^2 > a^2 + b^2$.
А из этого неравенства, в свою очередь, следует, что $c^2 > a^2$ и $c^2 > b^2$.
Поскольку длины сторон могут быть только положительными, получаем $c > a$ и $c > b$.
Таким образом, сторона $c$, лежащая против тупого угла $C$, является наибольшей стороной треугольника.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в треугольнике есть тупой угол, то он является наибольшим углом этого треугольника. По теореме о соотношении сторон и углов, против большего угла лежит большая сторона. Следовательно, сторона, лежащая против тупого угла, является наибольшей стороной треугольника.

3.23. Найдите высоту дерева по данным на рисунке 3.5, если $BC = a$.

A

$60^\circ$

$45^\circ$

B

C

Рис. 3.5

Обозначим высоту дерева $h$. На приложенном рисунке это отрезок $AD$, где $A$ — верхушка дерева, а $D$ — его основание. Предполагаем, что дерево растет перпендикулярно земле, поэтому $\triangle ADB$ и $\triangle ADC$ — прямоугольные треугольники с прямым углом при вершине $D$.

Пусть расстояние от основания дерева до точки $B$ равно $DB = x$. Из условия задачи, расстояние между точками $B$ и $C$ равно $a$. Тогда расстояние от основания дерева до точки $C$ будет равно $DC = DB + BC = x + a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADB$. По определению тангенса угла в прямоугольном треугольнике (отношение противолежащего катета к прилежащему):
$\tan(\angle ABD) = \frac{AD}{DB}$
Подставим известные значения: $\angle ABD = 60^\circ$, $AD = h$, $DB = x$.
$\tan(60^\circ) = \frac{h}{x}$
Зная, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$, получаем первое уравнение:
$\sqrt{3} = \frac{h}{x} \implies h = x\sqrt{3}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$. Аналогично:
$\tan(\angle ACD) = \frac{AD}{DC}$
Подставим известные значения: $\angle ACD = 45^\circ$, $AD = h$, $DC = x + a$.
$\tan(45^\circ) = \frac{h}{x+a}$
Зная, что $\tan(45^\circ) = 1$, получаем второе уравнение:
$1 = \frac{h}{x+a} \implies h = x + a$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $h$ и $x$:
$\begin{cases} h = x\sqrt{3} \\ h = x + a\end{cases}$
Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части, чтобы найти $x$:
$x\sqrt{3} = x + a$
$x\sqrt{3} - x = a$
$x(\sqrt{3} - 1) = a$
$x = \frac{a}{\sqrt{3} - 1}$

Теперь, когда мы выразили $x$ через $a$, подставим это выражение в любое из уравнений для $h$. Воспользуемся вторым уравнением $h = x + a$:
$h = \frac{a}{\sqrt{3} - 1} + a$
Приведем к общему знаменателю:
$h = \frac{a + a(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} - 1} = \frac{a + a\sqrt{3} - a}{\sqrt{3} - 1} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное к знаменателю выражение $(\sqrt{3} + 1)$:
$h = \frac{a\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{a(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{a(3 + \sqrt{3})}{3 - 1} = \frac{a(3 + \sqrt{3})}{2}$

Ответ: Высота дерева равна $\frac{a(3 + \sqrt{3})}{2}$.

3.24. Найдите $H$ по данным на рисунке 3.6.

B

$60^\circ$

$4 \text{ м}$

$H$

C

$30^\circ$

D

A

Рис. 3.6

Для нахождения высоты $H$ воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольных треугольниках, которые можно увидеть на рисунке.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ \triangle ABD $ и $ \triangle ACD $. Они имеют общий катет $ AD $. Будем считать, что $ \angle BDA = 90^\circ $ и $ \angle CDA = 90^\circ $.

В треугольнике $ \triangle ABD $ катет $ BD = 4 $ м. Угол $ 60^\circ $, показанный у вершины $ B $, является углом понижения (угол между горизонталью и линией визирования $ BA $). Этот угол равен накрест лежащему углу $ \angle BAD $, поскольку горизонтальная линия, проходящая через $ B $, параллельна основанию $ AD $. Таким образом, $ \angle BAD = 60^\circ $.

Из $ \triangle ABD $ мы можем выразить катет $ AD $ через тангенс угла $ \angle BAD $: $ \tan(\angle BAD) = \frac{BD}{AD} \implies \tan(60^\circ) = \frac{4}{AD} $

Отсюда $ AD = \frac{4}{\tan(60^\circ)} $.

Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle ACD $: катет $ CD = H $, а $ \angle CAD = 30^\circ $.

Из $ \triangle ACD $ мы также можем выразить катет $ AD $ через тангенс угла $ \angle CAD $: $ \tan(\angle CAD) = \frac{CD}{AD} \implies \tan(30^\circ) = \frac{H}{AD} $

Отсюда $ AD = \frac{H}{\tan(30^\circ)} $.

Так как $ AD $ является общим катетом для обоих треугольников, мы можем приравнять два полученных выражения для $ AD $: $ \frac{4}{\tan(60^\circ)} = \frac{H}{\tan(30^\circ)} $

Выразим $ H $ из этого уравнения: $ H = 4 \cdot \frac{\tan(30^\circ)}{\tan(60^\circ)} $

Подставим известные значения тангенсов: $ \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} $ и $ \tan(60^\circ) = \sqrt{3} $. $ H = 4 \cdot \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 4 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3} $

Следовательно, высота пьедестала $ H $ равна $ \frac{4}{3} $ м.

Ответ: $ H = \frac{4}{3} $ м.

3.25. Углы, прилежащие к стороне $a$, равны $\alpha$ и $\beta$. Найдите биссектрисы треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором сторона $BC = a$, а прилежащие к ней углы равны $\angle C = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Тогда третий угол треугольника $\angle A = \pi - (\alpha + \beta)$. Нам нужно найти длины трех биссектрис треугольника, которые мы обозначим как $l_a$, $l_b$ и $l_c$ (биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ соответственно).

Биссектриса $l_c$ угла $\alpha$

Рассмотрим биссектрису $l_c = CF$, проведенную из вершины $C$ к стороне $AB$. Она делит угол $\alpha$ на два равных угла $\angle BCF = \alpha/2$. Рассмотрим треугольник $BCF$. В нем известны: сторона $BC = a$, угол $\angle B = \beta$ и угол $\angle BCF = \alpha/2$. Сумма углов в треугольнике равна $\pi$, поэтому угол $\angle BFC = \pi - (\beta + \alpha/2)$. По теореме синусов для треугольника $BCF$: $$ \frac{CF}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle BFC)} $$ Подставляя известные значения, получаем: $$ \frac{l_c}{\sin\beta} = \frac{a}{\sin(\pi - (\beta + \alpha/2))} $$ Так как $\sin(\pi - x) = \sin x$, то: $$ \frac{l_c}{\sin\beta} = \frac{a}{\sin(\beta + \alpha/2)} $$ Отсюда выражаем длину биссектрисы $l_c$: $$ l_c = \frac{a \sin\beta}{\sin(\beta + \alpha/2)} $$

Ответ: $l_c = \frac{a \sin\beta}{\sin(\beta + \alpha/2)}$

Биссектриса $l_b$ угла $\beta$

Рассмотрим биссектрису $l_b = BE$, проведенную из вершины $B$ к стороне $AC$. Она делит угол $\beta$ на два равных угла $\angle CBE = \beta/2$. Рассмотрим треугольник $BCE$. В нем известны: сторона $BC = a$, угол $\angle C = \alpha$ и угол $\angle CBE = \beta/2$. Третий угол треугольника $\angle BEC = \pi - (\alpha + \beta/2)$. По теореме синусов для треугольника $BCE$: $$ \frac{BE}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle BEC)} $$ Подставляя известные значения, получаем: $$ \frac{l_b}{\sin\alpha} = \frac{a}{\sin(\pi - (\alpha + \beta/2))} $$ $$ \frac{l_b}{\sin\alpha} = \frac{a}{\sin(\alpha + \beta/2)} $$ Отсюда выражаем длину биссектрисы $l_b$: $$ l_b = \frac{a \sin\alpha}{\sin(\alpha + \beta/2)} $$

Ответ: $l_b = \frac{a \sin\alpha}{\sin(\alpha + \beta/2)}$

Биссектриса $l_a$ третьего угла

Рассмотрим биссектрису $l_a = AD$, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Угол при вершине $A$ равен $\angle A = \pi - (\alpha + \beta)$. Биссектриса делит его пополам: $\angle BAD = \angle CAD = \frac{\pi - (\alpha + \beta)}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha + \beta}{2}$. Для нахождения $l_a$ рассмотрим треугольник $ABD$. В нем известен угол $\angle B = \beta$ и угол $\angle BAD$. Нам также нужна длина стороны $AB = c$. Найдем сторону $c$ из основного треугольника $ABC$ по теореме синусов: $$ \frac{c}{\sin\alpha} = \frac{a}{\sin(\angle A)} = \frac{a}{\sin(\pi - (\alpha + \beta))} = \frac{a}{\sin(\alpha + \beta)} $$ $$ c = \frac{a \sin\alpha}{\sin(\alpha + \beta)} $$ Теперь применим теорему синусов к треугольнику $ABD$. Третий угол $\angle ADB = \pi - (\angle B + \angle BAD) = \pi - (\beta + \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\beta-\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha-\beta}{2}$. $$ \frac{AD}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} $$ $$ \frac{l_a}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\alpha-\beta}{2})} $$ Так как $\sin(\pi/2 + x) = \cos x$, получаем: $$ \frac{l_a}{\sin\beta} = \frac{c}{\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})} \implies l_a = \frac{c \sin\beta}{\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})} $$ Подставим выражение для стороны $c$: $$ l_a = \frac{a \sin\alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})} = \frac{a \sin\alpha \sin\beta}{\sin(\alpha + \beta) \cos(\frac{\alpha-\beta}{2})} $$

Ответ: $l_a = \frac{a \sin\alpha \sin\beta}{\sin(\alpha + \beta) \cos(\frac{\alpha-\beta}{2})}$

3.26. Отрезки $A_1A_2=d_1$, $A_2A_3=d_2$ и точки $A_1, A_2, A_3$ лежат на одной прямой. Из точки K эти отрезки видны под углом $\phi$. Найдите длины отрезков $A_1K, A_2K, A_3K$.

Пусть искомые длины отрезков равны $A_1K = x$, $A_2K = y$, $A_3K = z$.По условию, точки $A_1$, $A_2$, $A_3$ лежат на одной прямой. Будем считать, что точка $A_2$ лежит между $A_1$ и $A_3$. Также дано, что отрезки $A_1A_2$ и $A_2A_3$ видны из точки $K$ под одним и тем же углом $\phi$. Это означает, что $\angle A_1KA_2 = \angle A_2KA_3 = \phi$.

Рассмотрим треугольник $\triangle A_1KA_3$. Отрезок $KA_2$ является чевианой. Поскольку $\angle A_1KA_2 = \angle A_2KA_3 = \phi$, $KA_2$ является биссектрисой угла $\angle A_1KA_3$.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:$$ \frac{A_1K}{A_3K} = \frac{A_1A_2}{A_2A_3} $$Подставляя наши обозначения, получаем:$$ \frac{x}{z} = \frac{d_1}{d_2} \implies x = z \frac{d_1}{d_2} $$Это соотношение связывает длины отрезков $A_1K$ и $A_3K$.

Теперь снова рассмотрим $\triangle A_1KA_3$. Длина стороны $A_1A_3 = A_1A_2 + A_2A_3 = d_1 + d_2$. Угол $\angle A_1KA_3 = \angle A_1KA_2 + \angle A_2KA_3 = \phi + \phi = 2\phi$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов:$$ A_1A_3^2 = A_1K^2 + A_3K^2 - 2(A_1K)(A_3K)\cos(\angle A_1KA_3) $$$$ (d_1+d_2)^2 = x^2 + z^2 - 2xz\cos(2\phi) $$Подставим в это уравнение выражение для $x$ через $z$:$$ (d_1+d_2)^2 = \left(z \frac{d_1}{d_2}\right)^2 + z^2 - 2\left(z \frac{d_1}{d_2}\right)z\cos(2\phi) $$$$ (d_1+d_2)^2 = z^2 \frac{d_1^2}{d_2^2} + z^2 - 2z^2 \frac{d_1}{d_2}\cos(2\phi) $$Вынесем $z^2$ за скобки:$$ (d_1+d_2)^2 = z^2 \left( \frac{d_1^2}{d_2^2} + 1 - \frac{2d_1}{d_2}\cos(2\phi) \right) $$Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $d_2^2$:$$ (d_1+d_2)^2 = z^2 \frac{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}{d_2^2} $$Отсюда выразим $z^2$:$$ z^2 = \frac{d_2^2(d_1+d_2)^2}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} $$Извлекая квадратный корень, находим длину $A_3K = z$:$$ z = \frac{d_2(d_1+d_2)}{\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}} $$Теперь легко найти $A_1K = x$, используя соотношение $x = z \frac{d_1}{d_2}$:$$ x = \frac{d_1}{d_2} \cdot \frac{d_2(d_1+d_2)}{\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}} = \frac{d_1(d_1+d_2)}{\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}} $$

Для нахождения длины $A_2K = y$ применим теорему Стюарта для $\triangle A_1KA_3$ и чевианы $KA_2$. Формула теоремы Стюарта: $b^2m + c^2n = a(d^2+mn)$, где $a$ - длина основания, $m, n$ - отрезки основания, $b, c$ - боковые стороны, $d$ - длина чевианы. В нашем случае:$$ A_1K^2 \cdot A_2A_3 + A_3K^2 \cdot A_1A_2 = A_1A_3 (A_2K^2 + A_1A_2 \cdot A_2A_3) $$$$ x^2 d_2 + z^2 d_1 = (d_1+d_2)(y^2 + d_1d_2) $$Выразим $y^2$:$$ y^2 = \frac{x^2 d_2 + z^2 d_1}{d_1+d_2} - d_1d_2 $$Подставим найденные ранее выражения для $x^2$ и $z^2$:$$ x^2 d_2 = \frac{d_1^2(d_1+d_2)^2 d_2}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} $$$$ z^2 d_1 = \frac{d_2^2(d_1+d_2)^2 d_1}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} $$Сумма $x^2 d_2 + z^2 d_1$:$$ x^2 d_2 + z^2 d_1 = \frac{d_1^2d_2(d_1+d_2)^2 + d_1d_2^2(d_1+d_2)^2}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} = \frac{d_1d_2(d_1+d_2)(d_1+d_2)^2}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} = \frac{d_1d_2(d_1+d_2)^3}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} $$Теперь разделим на $(d_1+d_2)$:$$ \frac{x^2 d_2 + z^2 d_1}{d_1+d_2} = \frac{d_1d_2(d_1+d_2)^2}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} $$Подставим это в формулу для $y^2$:$$ y^2 = \frac{d_1d_2(d_1+d_2)^2}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} - d_1d_2 = d_1d_2 \left( \frac{(d_1+d_2)^2}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} - 1 \right) $$$$ y^2 = d_1d_2 \left( \frac{(d_1^2+2d_1d_2+d_2^2) - (d_1^2+d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi))}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} \right) $$$$ y^2 = d_1d_2 \frac{2d_1d_2 + 2d_1d_2\cos(2\phi)}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} = \frac{2d_1^2d_2^2(1+\cos(2\phi))}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} $$Используя тригонометрическую формулу $1+\cos(2\phi) = 2\cos^2(\phi)$:$$ y^2 = \frac{2d_1^2d_2^2(2\cos^2\phi)}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} = \frac{4d_1^2d_2^2\cos^2\phi}{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)} $$Извлекая корень, получаем $y$. Угол $\phi$ должен быть острым, иначе геометрическая конфигурация невозможна, поэтому $\cos\phi > 0$.$$ y = \frac{2d_1d_2\cos\phi}{\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}} $$

Ответ:
Длина отрезка $A_1K$ равна $ \frac{d_1(d_1+d_2)}{\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}} $.
Длина отрезка $A_2K$ равна $ \frac{2d_1d_2\cos\phi}{\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}} $.
Длина отрезка $A_3K$ равна $ \frac{d_2(d_1+d_2)}{\sqrt{d_1^2 + d_2^2 - 2d_1d_2\cos(2\phi)}} $.

3.27. Покажите, что в треугольнике со сторонами $a, b, c$ высоту, опущенную на сторону $c$, можно найти по формуле

$h_c = \frac{2S}{c}.$

Пользуйтесь только формулой (2).

Для доказательства данной формулы рассмотрим произвольный треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$. Пусть $S$ — площадь этого треугольника, а $h_c$ — высота, проведенная к стороне $c$.

В условии задачи указано, что необходимо использовать "формулу (2)". Поскольку текст этой формулы не приводится, мы будем исходить из предположения, что это наиболее известная формула для площади треугольника, связывающая основание и высоту:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$

Применительно к нашему случаю, где основанием является сторона $c$, а высотой — $h_c$, формула запишется так:

$S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$

Теперь выразим высоту $h_c$ из этого равенства. Для этого выполним следующие алгебраические преобразования:

1. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от коэффициента $\frac{1}{2}$:

$2 \cdot S = 2 \cdot (\frac{1}{2} c \cdot h_c)$

$2S = c \cdot h_c$

2. Разделим обе части полученного равенства на $c$. Так как $c$ — это длина стороны треугольника, то $c > 0$, и это действие является корректным:

$\frac{2S}{c} = \frac{c \cdot h_c}{c}$

После сокращения $c$ в правой части получаем:

$\frac{2S}{c} = h_c$

Поменяв местами левую и правую части уравнения, мы приходим к искомой формуле:

$h_c = \frac{2S}{c}$

Таким образом, мы доказали, что формула верна.

Ответ: Мы исходим из общеизвестной формулы площади треугольника $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$, которую в задаче, предположительно, называют "формулой (2)". Для стороны $c$ и опущенной на нее высоты $h_c$ эта формула имеет вид $S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$. Умножая обе части уравнения на 2, получаем $2S = c \cdot h_c$. Далее, разделив обе части на $c$ (где $c \ne 0$), мы выражаем высоту: $h_c = \frac{2S}{c}$. Это и требовалось показать.

3.28. Покажите, что в треугольнике со сторонами $a, b, c$ радиус вписанной в него окружности можно найти по формуле

$r = \frac{S}{p}$,

где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$ и $AB = c$. Пусть $S$ — площадь этого треугольника.

Пусть в этот треугольник вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$.

Соединим центр вписанной окружности $O$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. Это действие разделит исходный треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle COA$.

Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих трех треугольников: $S = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COA}$

Площадь любого треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Для каждого из трех малых треугольников ($AOB$, $BOC$, $COA$) одна из сторон большого треугольника ($a$, $b$ или $c$) будет основанием. Высотой, опущенной на это основание, будет радиус вписанной окружности $r$, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен стороне.

Таким образом, площади малых треугольников равны:

Площадь $\triangle AOB$: основание — сторона $c$ ($AB$), высота — $r$. $S_{AOB} = \frac{1}{2}cr$.

Площадь $\triangle BOC$: основание — сторона $a$ ($BC$), высота — $r$. $S_{BOC} = \frac{1}{2}ar$.

Площадь $\triangle COA$: основание — сторона $b$ ($AC$), высота — $r$. $S_{COA} = \frac{1}{2}br$.

Теперь подставим эти выражения в формулу для общей площади $S$: $S = \frac{1}{2}cr + \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки: $S = \frac{1}{2}r(a + b + c)$

По условию, полупериметр $p$ определяется как $p = \frac{a+b+c}{2}$. Отсюда следует, что периметр $a+b+c = 2p$.

Заменим сумму сторон $(a+b+c)$ на $2p$ в выражении для площади: $S = \frac{1}{2}r \cdot (2p) = r \cdot p$

Из этого равенства $S = pr$ выразим радиус $r$: $r = \frac{S}{p}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Формула $r = \frac{S}{p}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$, для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности верна, что и было показано в ходе доказательства.

3.29. В треугольнике $ABC$ проведена медиана $CD$. Докажите, что если $AC > BC$, то $\angle ACD < \angle BCD$.

Для доказательства утверждения воспользуемся методом дополнительного построения. Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведена медиана $CD$.

1. Выполним построение: продлим медиану $CD$ за точку $D$ на ее длину до точки $E$ так, что $CD = DE$. Соединим точку $E$ с точкой $A$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle BDC$. В этих треугольниках:

• $AD = BD$, так как $CD$ — медиана по условию.
• $DE = CD$ по нашему построению.
• $\angle ADE = \angle BDC$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle ADE \cong \triangle BDC$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:

• $AE = BC$
• $\angle AED = \angle BCD$

4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACE$. По условию задачи дано, что $AC > BC$. Используя равенство $AE = BC$, которое мы доказали в предыдущем шаге, получаем неравенство для сторон треугольника $\triangle ACE$: $AC > AE$.

5. Применим теорему о соотношении между сторонами и углами треугольника, которая гласит, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В $\triangle ACE$:

• стороне $AC$ противолежит угол $\angle AEC$;
• стороне $AE$ противолежит угол $\angle ACE$.

Так как $AC > AE$, то и противолежащие им углы находятся в таком же соотношении: $\angle AEC > \angle ACE$.

6. Вернемся к равенствам углов, полученным из конгруэнтности треугольников: $\angle AED = \angle BCD$ и $\angle ACE = \angle ACD$. Угол $\angle AEC$ — это тот же угол, что и $\angle AED$.

Подставив эти соотношения в неравенство $\angle AEC > \angle ACE$, получим:

$\angle BCD > \angle ACD$

Это и есть то, что требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если в треугольнике $ABC$ медиана $CD$ такова, что сторона $AC > BC$, то угол $\angle ACD < \angle BCD$.