Номер 3.25, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.25. Углы, прилежащие к стороне $a$, равны $\alpha$ и $\beta$. Найдите биссектрисы треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором сторона $BC = a$, а прилежащие к ней углы равны $\angle C = \alpha$ и $\angle B = \beta$. Тогда третий угол треугольника $\angle A = \pi - (\alpha + \beta)$. Нам нужно найти длины трех биссектрис треугольника, которые мы обозначим как $l_a$, $l_b$ и $l_c$ (биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ соответственно).

Биссектриса $l_c$ угла $\alpha$

Рассмотрим биссектрису $l_c = CF$, проведенную из вершины $C$ к стороне $AB$. Она делит угол $\alpha$ на два равных угла $\angle BCF = \alpha/2$. Рассмотрим треугольник $BCF$. В нем известны: сторона $BC = a$, угол $\angle B = \beta$ и угол $\angle BCF = \alpha/2$. Сумма углов в треугольнике равна $\pi$, поэтому угол $\angle BFC = \pi - (\beta + \alpha/2)$. По теореме синусов для треугольника $BCF$: $$ \frac{CF}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle BFC)} $$ Подставляя известные значения, получаем: $$ \frac{l_c}{\sin\beta} = \frac{a}{\sin(\pi - (\beta + \alpha/2))} $$ Так как $\sin(\pi - x) = \sin x$, то: $$ \frac{l_c}{\sin\beta} = \frac{a}{\sin(\beta + \alpha/2)} $$ Отсюда выражаем длину биссектрисы $l_c$: $$ l_c = \frac{a \sin\beta}{\sin(\beta + \alpha/2)} $$

Ответ: $l_c = \frac{a \sin\beta}{\sin(\beta + \alpha/2)}$

Биссектриса $l_b$ угла $\beta$

Рассмотрим биссектрису $l_b = BE$, проведенную из вершины $B$ к стороне $AC$. Она делит угол $\beta$ на два равных угла $\angle CBE = \beta/2$. Рассмотрим треугольник $BCE$. В нем известны: сторона $BC = a$, угол $\angle C = \alpha$ и угол $\angle CBE = \beta/2$. Третий угол треугольника $\angle BEC = \pi - (\alpha + \beta/2)$. По теореме синусов для треугольника $BCE$: $$ \frac{BE}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle BEC)} $$ Подставляя известные значения, получаем: $$ \frac{l_b}{\sin\alpha} = \frac{a}{\sin(\pi - (\alpha + \beta/2))} $$ $$ \frac{l_b}{\sin\alpha} = \frac{a}{\sin(\alpha + \beta/2)} $$ Отсюда выражаем длину биссектрисы $l_b$: $$ l_b = \frac{a \sin\alpha}{\sin(\alpha + \beta/2)} $$

Ответ: $l_b = \frac{a \sin\alpha}{\sin(\alpha + \beta/2)}$

Биссектриса $l_a$ третьего угла

Рассмотрим биссектрису $l_a = AD$, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Угол при вершине $A$ равен $\angle A = \pi - (\alpha + \beta)$. Биссектриса делит его пополам: $\angle BAD = \angle CAD = \frac{\pi - (\alpha + \beta)}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha + \beta}{2}$. Для нахождения $l_a$ рассмотрим треугольник $ABD$. В нем известен угол $\angle B = \beta$ и угол $\angle BAD$. Нам также нужна длина стороны $AB = c$. Найдем сторону $c$ из основного треугольника $ABC$ по теореме синусов: $$ \frac{c}{\sin\alpha} = \frac{a}{\sin(\angle A)} = \frac{a}{\sin(\pi - (\alpha + \beta))} = \frac{a}{\sin(\alpha + \beta)} $$ $$ c = \frac{a \sin\alpha}{\sin(\alpha + \beta)} $$ Теперь применим теорему синусов к треугольнику $ABD$. Третий угол $\angle ADB = \pi - (\angle B + \angle BAD) = \pi - (\beta + \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha+\beta}{2}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\beta-\alpha}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\alpha-\beta}{2}$. $$ \frac{AD}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} $$ $$ \frac{l_a}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\alpha-\beta}{2})} $$ Так как $\sin(\pi/2 + x) = \cos x$, получаем: $$ \frac{l_a}{\sin\beta} = \frac{c}{\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})} \implies l_a = \frac{c \sin\beta}{\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})} $$ Подставим выражение для стороны $c$: $$ l_a = \frac{a \sin\alpha}{\sin(\alpha + \beta)} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos(\frac{\alpha-\beta}{2})} = \frac{a \sin\alpha \sin\beta}{\sin(\alpha + \beta) \cos(\frac{\alpha-\beta}{2})} $$

Ответ: $l_a = \frac{a \sin\alpha \sin\beta}{\sin(\alpha + \beta) \cos(\frac{\alpha-\beta}{2})}$