Номер 3.28, страница 112 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.28. Покажите, что в треугольнике со сторонами $a, b, c$ радиус вписанной в него окружности можно найти по формуле

$r = \frac{S}{p}$,

где $p = \frac{a+b+c}{2}$.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $BC = a$, $AC = b$ и $AB = c$. Пусть $S$ — площадь этого треугольника.

Пусть в этот треугольник вписана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$.

Соединим центр вписанной окружности $O$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. Это действие разделит исходный треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle COA$.

Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей этих трех треугольников: $S = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COA}$

Площадь любого треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Для каждого из трех малых треугольников ($AOB$, $BOC$, $COA$) одна из сторон большого треугольника ($a$, $b$ или $c$) будет основанием. Высотой, опущенной на это основание, будет радиус вписанной окружности $r$, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен стороне.

Таким образом, площади малых треугольников равны:

Площадь $\triangle AOB$: основание — сторона $c$ ($AB$), высота — $r$. $S_{AOB} = \frac{1}{2}cr$.

Площадь $\triangle BOC$: основание — сторона $a$ ($BC$), высота — $r$. $S_{BOC} = \frac{1}{2}ar$.

Площадь $\triangle COA$: основание — сторона $b$ ($AC$), высота — $r$. $S_{COA} = \frac{1}{2}br$.

Теперь подставим эти выражения в формулу для общей площади $S$: $S = \frac{1}{2}cr + \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки: $S = \frac{1}{2}r(a + b + c)$

По условию, полупериметр $p$ определяется как $p = \frac{a+b+c}{2}$. Отсюда следует, что периметр $a+b+c = 2p$.

Заменим сумму сторон $(a+b+c)$ на $2p$ в выражении для площади: $S = \frac{1}{2}r \cdot (2p) = r \cdot p$

Из этого равенства $S = pr$ выразим радиус $r$: $r = \frac{S}{p}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Формула $r = \frac{S}{p}$, где $p = \frac{a+b+c}{2}$, для нахождения радиуса вписанной в треугольник окружности верна, что и было показано в ходе доказательства.