Номер 3.32, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.32. В треугольнике ABC $\angle A=\alpha$, $\angle B=\beta$, $\angle C=\gamma$, $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$. Найдите неизвестные элементы треугольника, если:1)

1) $a=5$, $\alpha=60^\circ$, $\beta=40^\circ$;

2) $b=4,56$, $\alpha=30^\circ$, $\gamma=75^\circ$;

3) $c=14$, $\beta=45^\circ$, $\gamma=70^\circ$;

4) $a=12$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$;

5) $b=9$, $c=17$, $\alpha=80^\circ$;

6) $a=7$, $c=10$, $\beta=120^\circ$;

7) $a=2$, $b=3$, $c=4$;

8) $a=4$, $b=10$, $c=7$.

1) Дано: $a=5$, $\alpha=60^\circ$, $\beta=40^\circ$.
Необходимо найти угол $\gamma$ и стороны $b, c$.
1. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 60^\circ - 40^\circ = 80^\circ$.
2. Для нахождения сторон $b$ и $c$ воспользуемся теоремой синусов:
$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$
Из этого соотношения выражаем $b$ и $c$:
$b = \frac{a \cdot \sin\beta}{\sin\alpha} = \frac{5 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{5 \cdot 0.6428}{0.8660} \approx 3.71$
$c = \frac{a \cdot \sin\gamma}{\sin\alpha} = \frac{5 \cdot \sin 80^\circ}{\sin 60^\circ} \approx \frac{5 \cdot 0.9848}{0.8660} \approx 5.69$
Ответ: $\gamma=80^\circ, b \approx 3.71, c \approx 5.69$.

2) Дано: $b=4.56$, $\alpha=30^\circ$, $\gamma=75^\circ$.
Необходимо найти угол $\beta$ и стороны $a, c$.
1. Найдем угол $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 30^\circ - 75^\circ = 75^\circ$.
2. Поскольку $\beta = \gamma = 75^\circ$, треугольник является равнобедренным, и сторона, лежащая напротив угла $\beta$ (сторона $b$), равна стороне, лежащей напротив угла $\gamma$ (сторона $c$).
$c = b = 4.56$.
3. По теореме синусов найдем сторону $a$:
$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}$
$a = \frac{b \cdot \sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{4.56 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 75^\circ} \approx \frac{4.56 \cdot 0.5}{0.9659} \approx 2.36$
Ответ: $\beta=75^\circ, a \approx 2.36, c = 4.56$.

3) Дано: $c=14$, $\beta=45^\circ$, $\gamma=70^\circ$.
Необходимо найти угол $\alpha$ и стороны $a, b$.
1. Найдем угол $\alpha$:
$\alpha = 180^\circ - \beta - \gamma = 180^\circ - 45^\circ - 70^\circ = 65^\circ$.
2. По теореме синусов найдем стороны $a$ и $b$:
$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$
$a = \frac{c \cdot \sin\alpha}{\sin\gamma} = \frac{14 \cdot \sin 65^\circ}{\sin 70^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0.9063}{0.9397} \approx 13.50$
$b = \frac{c \cdot \sin\beta}{\sin\gamma} = \frac{14 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 70^\circ} \approx \frac{14 \cdot 0.7071}{0.9397} \approx 10.53$
Ответ: $\alpha=65^\circ, a \approx 13.50, b \approx 10.53$.

4) Дано: $a=12$, $b=8$, $\gamma=60^\circ$.
Необходимо найти сторону $c$ и углы $\alpha, \beta$.
1. По теореме косинусов найдем сторону $c$:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma = 12^2 + 8^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 144 + 64 - 192 \cdot 0.5 = 208 - 96 = 112$
$c = \sqrt{112} = 4\sqrt{7} \approx 10.58$
2. Теперь найдем угол $\alpha$, используя теорему косинусов:
$\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{8^2 + (4\sqrt{7})^2 - 12^2}{2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{7}} = \frac{64 + 112 - 144}{64\sqrt{7}} = \frac{32}{64\sqrt{7}} = \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{14} \approx 0.1890$
$\alpha = \arccos(\frac{\sqrt{7}}{14}) \approx 79.1^\circ$
3. Найдем угол $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma \approx 180^\circ - 79.1^\circ - 60^\circ = 40.9^\circ$
Ответ: $c = 4\sqrt{7} \approx 10.58, \alpha \approx 79.1^\circ, \beta \approx 40.9^\circ$.

5) Дано: $b=9$, $c=17$, $\alpha=80^\circ$.
Необходимо найти сторону $a$ и углы $\beta, \gamma$.
1. По теореме косинусов найдем сторону $a$:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos\alpha = 9^2 + 17^2 - 2 \cdot 9 \cdot 17 \cdot \cos 80^\circ = 81 + 289 - 306 \cos 80^\circ \approx 370 - 306 \cdot 0.1736 = 370 - 53.12 = 316.88$
$a = \sqrt{316.88} \approx 17.80$
2. По теореме синусов найдем угол $\beta$:
$\frac{\sin\beta}{b} = \frac{\sin\alpha}{a} \implies \sin\beta = \frac{b \sin\alpha}{a} \approx \frac{9 \sin 80^\circ}{17.80} \approx \frac{9 \cdot 0.9848}{17.80} \approx 0.4979$
$\beta = \arcsin(0.4979) \approx 29.9^\circ$
3. Найдем угол $\gamma$:
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 80^\circ - 29.9^\circ = 70.1^\circ$
Ответ: $a \approx 17.80, \beta \approx 29.9^\circ, \gamma \approx 70.1^\circ$.

6) Дано: $a=7$, $c=10$, $\beta=120^\circ$.
Необходимо найти сторону $b$ и углы $\alpha, \gamma$.
1. По теореме косинусов найдем сторону $b$:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos\beta = 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos 120^\circ = 49 + 100 - 140 \cdot (-0.5) = 149 + 70 = 219$
$b = \sqrt{219} \approx 14.80$
2. По теореме синусов найдем угол $\alpha$:
$\frac{\sin\alpha}{a} = \frac{\sin\beta}{b} \implies \sin\alpha = \frac{a \sin\beta}{b} = \frac{7 \sin 120^\circ}{\sqrt{219}} \approx \frac{7 \cdot 0.8660}{14.80} \approx 0.4096$
$\alpha = \arcsin(0.4096) \approx 24.2^\circ$
3. Найдем угол $\gamma$:
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 24.2^\circ - 120^\circ = 35.8^\circ$
Ответ: $b = \sqrt{219} \approx 14.80, \alpha \approx 24.2^\circ, \gamma \approx 35.8^\circ$.

7) Дано: $a=2$, $b=3$, $c=4$.
Необходимо найти углы $\alpha, \beta, \gamma$.
1. Проверим, существует ли такой треугольник с помощью неравенства треугольника: $2+3>4$ (Верно), $2+4>3$ (Верно), $3+4>2$ (Верно). Треугольник существует.
2. Найдем углы по теореме косинусов. Рекомендуется начинать с угла, противолежащего наибольшей стороне ($c=4$), чтобы определить, является ли он тупым.
$\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{4+9-16}{12} = \frac{-3}{12} = -0.25$
$\gamma = \arccos(-0.25) \approx 104.5^\circ$
$\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3^2 + 4^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9+16-4}{24} = \frac{21}{24} = 0.875$
$\alpha = \arccos(0.875) \approx 29.0^\circ$
$\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma \approx 180^\circ - 29.0^\circ - 104.5^\circ = 46.5^\circ$
Ответ: $\alpha \approx 29.0^\circ, \beta \approx 46.5^\circ, \gamma \approx 104.5^\circ$.

8) Дано: $a=4$, $b=10$, $c=7$.
Необходимо найти углы $\alpha, \beta, \gamma$.
1. Проверим неравенство треугольника: $4+7>10$ (Верно), $4+10>7$ (Верно), $10+7>4$ (Верно). Треугольник существует.
2. Найдем углы по теореме косинусов, начиная с угла напротив наибольшей стороны ($b=10$):
$\cos\beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{4^2 + 7^2 - 10^2}{2 \cdot 4 \cdot 7} = \frac{16+49-100}{56} = \frac{-35}{56} = -0.625$
$\beta = \arccos(-0.625) \approx 128.7^\circ$
$\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{10^2 + 7^2 - 4^2}{2 \cdot 10 \cdot 7} = \frac{100+49-16}{140} = \frac{133}{140} = 0.95$
$\alpha = \arccos(0.95) \approx 18.2^\circ$
$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 18.2^\circ - 128.7^\circ = 33.1^\circ$
Ответ: $\alpha \approx 18.2^\circ, \beta \approx 128.7^\circ, \gamma \approx 33.1^\circ$.