Номер 3.36, страница 115 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.36. Найдите сторону $AC$ и площадь треугольника $ABC$, если сторона $AB=12$ см, а прилежащие к ней углы $\angle A=75^\circ$, $\angle B=60^\circ$.

Нахождение стороны AC
В треугольнике ABC известны сторона $AB = 12$ см и два прилежащих к ней угла: $\angle A = 75^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$.
1. Сначала найдем третий угол треугольника, $\angle C$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
2. Для нахождения стороны $AC$ воспользуемся теоремой синусов, согласно которой отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:
$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$
3. Выразим из формулы сторону $AC$ и подставим известные значения:
$AC = \frac{AB \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle C)} = \frac{12 \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(45^\circ)}$
4. Зная табличные значения синусов $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, выполним вычисление:
$AC = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$AC = \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{6}}{2} = 6\sqrt{6}$ см.

Ответ: $AC = 6\sqrt{6}$ см.

Нахождение площади треугольника ABC
1. Площадь треугольника можно найти по формуле, использующей две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$. Мы используем стороны $AB$, $AC$ и угол $\angle A$ между ними:
$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$
2. Нам известны: $AB = 12$ см, $AC = 6\sqrt{6}$ см (из предыдущего пункта) и $\angle A = 75^\circ$.
3. Найдем значение $\sin(75^\circ)$, используя формулу синуса суммы углов $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:
$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$
$\sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
4. Теперь подставим все значения в формулу площади и вычислим:
$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6\sqrt{6} \cdot \left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right) = 36\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = 9\sqrt{6}(\sqrt{6} + \sqrt{2})$
5. Раскроем скобки и упростим выражение:
$S = 9(\sqrt{6}\cdot\sqrt{6} + \sqrt{6}\cdot\sqrt{2}) = 9(6 + \sqrt{12}) = 9(6 + 2\sqrt{3}) = 18(3 + \sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $S = 18(3 + \sqrt{3})$ см$^2$.