Номер 3.39, страница 116 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.39. Даны три стороны треугольника. Найдите его углы и площадь, если:

1) $a=2$ см, $b=4$ см, $c=5$ см;

2) $a=3$ м, $b=4$ м, $c=5$ м;

3) $a=7$ дм, $b=3$ дм, $c=8$ дм;

4) $a=15$ см, $b=24$ см, $c=18$ см.

Для решения задачи мы будем использовать теорему косинусов для нахождения углов и формулу Герона для нахождения площади треугольника.

Теорема косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$. Отсюда, косинус угла $\gamma$, противолежащего стороне $c$, можно найти по формуле: $\cos(\gamma) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$. Аналогичные формулы используются для нахождения углов $\alpha$ и $\beta$.

Формула Герона для площади $S$: $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, где $s = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр треугольника.

1) a=2 см, b=4 см, c=5 см;

Сначала проверим неравенство треугольника: $2+4 > 5$ (6>5), $2+5 > 4$ (7>4), $4+5 > 2$ (9>2). Треугольник существует.

Найдем углы, используя теорему косинусов. Пусть $\alpha, \beta, \gamma$ — углы, лежащие против сторон $a, b, c$ соответственно.

$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{4^2 + 5^2 - 2^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 4}{40} = \frac{37}{40} = 0.925$

$\alpha = \arccos(0.925) \approx 22.33^\circ$

$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{2^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 2 \cdot 5} = \frac{4 + 25 - 16}{20} = \frac{13}{20} = 0.65$

$\beta = \arccos(0.65) \approx 49.46^\circ$

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 22.33^\circ - 49.46^\circ \approx 108.21^\circ$

Теперь найдем площадь по формуле Герона. Полупериметр $s$:

$s = \frac{2+4+5}{2} = \frac{11}{2} = 5.5$ см

Площадь $S$:

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{5.5(5.5-2)(5.5-4)(5.5-5)} = \sqrt{5.5 \cdot 3.5 \cdot 1.5 \cdot 0.5} = \sqrt{14.4375}$ см²

Точное значение площади: $S = \sqrt{\frac{11}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{231}}{4}$ см².

Ответ: углы треугольника примерно равны $22.33^\circ, 49.46^\circ, 108.21^\circ$; площадь равна $\frac{\sqrt{231}}{4} \text{ см}^2 \approx 3.8 \text{ см}^2$.

2) a=3 м, b=4 м, c=5 м;

Проверим неравенство треугольника: $3+4 > 5$ (7>5), $3+5 > 4$ (8>4), $4+5 > 3$ (9>3). Треугольник существует.

Заметим, что стороны удовлетворяют теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 = c^2$. Это означает, что треугольник является прямоугольным, и угол $\gamma$, противолежащий стороне $c$ (гипотенузе), равен $90^\circ$.

$\gamma = 90^\circ$

Найдем остальные углы:

$\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{3}{5} = 0.6 \implies \alpha = \arcsin(0.6) \approx 36.87^\circ$

$\sin(\beta) = \frac{b}{c} = \frac{4}{5} = 0.8 \implies \beta = \arcsin(0.8) \approx 53.13^\circ$

Проверка: $90^\circ + 36.87^\circ + 53.13^\circ = 180^\circ$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ м²

Ответ: углы треугольника равны $90^\circ$, примерно $36.87^\circ$ и $53.13^\circ$; площадь равна $6 \text{ м}^2$.

3) a=7 дм, b=3 дм, c=8 дм;

Проверим неравенство треугольника: $7+3 > 8$ (10>8), $7+8 > 3$ (15>3), $3+8 > 7$ (11>7). Треугольник существует.

Найдем углы по теореме косинусов:

$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{9 + 64 - 49}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

$\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$

$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 8^2 - 3^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{49 + 64 - 9}{112} = \frac{104}{112} = \frac{13}{14}$

$\beta = \arccos(\frac{13}{14}) \approx 21.79^\circ$

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 60^\circ - 21.79^\circ \approx 98.21^\circ$

Для нахождения площади воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2}bc \sin(\alpha)$, так как угол $\alpha=60^\circ$ имеет точное значение синуса:

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ дм²

Ответ: углы треугольника равны $60^\circ$, примерно $21.79^\circ$ и $98.21^\circ$; площадь равна $6\sqrt{3} \text{ дм}^2 \approx 10.39 \text{ дм}^2$.

4) a=15 см, b=24 см, c=18 см;

Проверим неравенство треугольника: $15+24 > 18$ (39>18), $15+18 > 24$ (33>24), $24+18 > 15$ (42>15). Треугольник существует.

Найдем углы по теореме косинусов:

$\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{24^2 + 18^2 - 15^2}{2 \cdot 24 \cdot 18} = \frac{576 + 324 - 225}{864} = \frac{675}{864} = \frac{25}{32}$

$\alpha = \arccos(\frac{25}{32}) \approx 38.62^\circ$

$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{15^2 + 18^2 - 24^2}{2 \cdot 15 \cdot 18} = \frac{225 + 324 - 576}{540} = \frac{-27}{540} = -\frac{1}{20}$

$\beta = \arccos(-\frac{1}{20}) \approx 92.87^\circ$

$\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta \approx 180^\circ - 38.62^\circ - 92.87^\circ \approx 48.51^\circ$

Найдем площадь по формуле Герона. Полупериметр $s$:

$s = \frac{15+24+18}{2} = \frac{57}{2} = 28.5$ см

Площадь $S$:

$S = \sqrt{28.5(28.5-15)(28.5-24)(28.5-18)} = \sqrt{28.5 \cdot 13.5 \cdot 4.5 \cdot 10.5}$

$S = \sqrt{\frac{57}{2} \cdot \frac{27}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{21}{2}} = \frac{\sqrt{57 \cdot 27 \cdot 9 \cdot 21}}{4} = \frac{\sqrt{(3 \cdot 19) \cdot (3^3) \cdot (3^2) \cdot (3 \cdot 7)}}{4} = \frac{\sqrt{3^7 \cdot 7 \cdot 19}}{4} = \frac{3^3\sqrt{3 \cdot 7 \cdot 19}}{4} = \frac{27\sqrt{399}}{4}$ см²

Ответ: углы треугольника примерно равны $38.62^\circ, 92.87^\circ, 48.51^\circ$; площадь равна $\frac{27\sqrt{399}}{4} \text{ см}^2 \approx 134.83 \text{ см}^2$.