Номер 3.44, страница 116 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.44. Найдите все высоты треугольника, если его стороны равны 5 см, 6 см и 7 см.

Для нахождения всех высот треугольника, зная длины его сторон, можно использовать метод, основанный на вычислении площади. Сначала мы вычислим площадь треугольника по формуле Герона, а затем, используя другую формулу площади ($S = \frac{1}{2}ah$), найдем каждую из трех высот.

Стороны треугольника равны $a = 5$ см, $b = 6$ см и $c = 7$ см.

1. Вычисление полупериметра.
Полупериметр $p$ вычисляется по формуле: $p = \frac{a+b+c}{2}$.
Подставим значения сторон: $p = \frac{5 + 6 + 7}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

2. Вычисление площади треугольника по формуле Герона.
Формула Герона для площади $S$ треугольника: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
Вычислим разности, необходимые для формулы:
$p-a = 9 - 5 = 4$ см.
$p-b = 9 - 6 = 3$ см.
$p-c = 9 - 7 = 2$ см.
Теперь подставим все значения в формулу Герона:
$S = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216}$.
Упростим корень: $\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}$ см$^2$.

3. Вычисление высот треугольника.
Площадь треугольника также можно выразить через сторону (основание) и высоту, проведенную к этой стороне: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
Отсюда высота $h$ к стороне $a$ равна: $h_a = \frac{2S}{a}$. Аналогично для других сторон.

Высота $h_a$, проведенная к стороне $a = 5$ см:
$h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \cdot 6\sqrt{6}}{5} = \frac{12\sqrt{6}}{5}$ см.

Высота $h_b$, проведенная к стороне $b = 6$ см:
$h_b = \frac{2S}{b} = \frac{2 \cdot 6\sqrt{6}}{6} = 2\sqrt{6}$ см.

Высота $h_c$, проведенная к стороне $c = 7$ см:
$h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 6\sqrt{6}}{7} = \frac{12\sqrt{6}}{7}$ см.

Ответ: высоты треугольника равны $\frac{12\sqrt{6}}{5}$ см, $2\sqrt{6}$ см и $\frac{12\sqrt{6}}{7}$ см.