Номер 3.48, страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.48. Одна из диагоналей ромба, равная 20 см, образует со стороной угол $20^\circ$. Найдите сторону и другую диагональ ромба.

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами ромба: все его стороны равны, а диагонали взаимно перпендикулярны, делят углы ромба пополам и в точке пересечения делятся пополам.

Пусть нам дан ромб ABCD. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По условию, одна из диагоналей равна 20 см и образует со стороной угол 20°. Примем, что диагональ $AC = d_1 = 20$ см, а угол, который она образует со стороной AB, это $\angle BAC = 20°$.

Рассмотрим треугольник AOB. Так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, этот треугольник является прямоугольным ($\angle AOB = 90°$). Катет AO равен половине диагонали AC: $AO = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см. Угол $\angle BAO$ равен $20°$. Гипотенуза AB является стороной ромба ($a$), а катет BO — половиной второй диагонали ($d_2$).

Сторона ромба
Для нахождения стороны ромба $a$ (гипотенузы AB) в прямоугольном треугольнике AOB воспользуемся соотношением для косинуса угла:
$ \cos(\angle BAO) = \frac{AO}{AB} $.
Подставим известные значения:
$ \cos(20°) = \frac{10}{a} $.
Выразим отсюда сторону $a$:
$ a = \frac{10}{\cos(20°)} $.
Приблизительное значение: $a \approx \frac{10}{0.9397} \approx 10.64$ см.
Ответ: сторона ромба равна $\frac{10}{\cos(20°)}$ см (приблизительно 10.64 см).

Другая диагональ ромба
Для нахождения второй диагонали $d_2$ сначала найдем ее половину — катет BO в том же треугольнике AOB. Воспользуемся соотношением для тангенса угла:
$ \tan(\angle BAO) = \frac{BO}{AO} $.
Подставим известные значения:
$ \tan(20°) = \frac{BO}{10} $.
Выразим отсюда BO:
$ BO = 10 \cdot \tan(20°) $.
Так как диагональ $d_2 = 2 \cdot BO$, то:
$ d_2 = 20 \cdot \tan(20°) $.
Приблизительное значение: $d_2 \approx 20 \cdot 0.3640 \approx 7.28$ см.
Ответ: другая диагональ ромба равна $20 \cdot \tan(20°)$ см (приблизительно 7.28 см).