Номер 3.51, страница 117 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.51. В трапеции основания равны 14 м и 19 м, а боковые стороны – 6 м и 8 м. Найдите углы трапеции.

Пусть дана трапеция ABCD, в которой основания BC и AD параллельны. По условию, длины оснований равны $BC = 14$ м и $AD = 19$ м, а длины боковых сторон равны $AB = 6$ м и $CD = 8$ м.

Для нахождения углов трапеции воспользуемся методом дополнительного построения. Проведем через вершину C прямую CE, параллельную боковой стороне AB, так, чтобы точка E лежала на основании AD.

В результате такого построения мы получаем параллелограмм ABCE, поскольку по построению $CE \parallel AB$ и по определению трапеции $BC \parallel AE$. Из свойств параллелограмма следует, что противоположные стороны равны: $AE = BC = 14$ м и $CE = AB = 6$ м.

Теперь рассмотрим треугольник CDE. Мы знаем длины всех его сторон:

• $CE = 6$ м
• $CD = 8$ м
• $DE = AD - AE = 19 - 14 = 5$ м

Зная все стороны треугольника, мы можем найти его углы с помощью теоремы косинусов.

Найдем угол D трапеции, который равен углу $\angle CDE$ в треугольнике CDE. По теореме косинусов:

$CE^2 = CD^2 + DE^2 - 2 \cdot CD \cdot DE \cdot \cos(\angle D)$

$6^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(\angle D)$

$36 = 64 + 25 - 80 \cos(\angle D)$

$36 = 89 - 80 \cos(\angle D)$

$80 \cos(\angle D) = 89 - 36 = 53$

$\cos(\angle D) = \frac{53}{80}$

Следовательно, $\angle D = \arccos\left(\frac{53}{80}\right)$.

Теперь найдем угол A трапеции. Поскольку $AB \parallel CE$ и AD — секущая, то сумма внутренних односторонних углов $\angle BAE$ и $\angle AEC$ равна $180^\circ$. Углы $\angle AEC$ и $\angle CED$ — смежные, их сумма также равна $180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle A = \angle BAE = \angle CED$.

Найдем угол $\angle CED$ из треугольника CDE по теореме косинусов:

$CD^2 = CE^2 + DE^2 - 2 \cdot CE \cdot DE \cdot \cos(\angle CED)$

$8^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos(\angle CED)$

$64 = 36 + 25 - 60 \cos(\angle CED)$

$64 = 61 - 60 \cos(\angle CED)$

$60 \cos(\angle CED) = 61 - 64 = -3$

$\cos(\angle A) = \cos(\angle CED) = -\frac{3}{60} = -\frac{1}{20}$

Следовательно, $\angle A = \arccos\left(-\frac{1}{20}\right)$. Отрицательное значение косинуса указывает на то, что угол A является тупым.

Оставшиеся углы B и C найдем, используя свойство трапеции о том, что сумма углов при каждой боковой стороне равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан).

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - \arccos\left(-\frac{1}{20}\right)$. Используя тригонометрическое тождество $\arccos(-x) = 180^\circ - \arccos(x)$, получаем: $\angle B = \arccos\left(\frac{1}{20}\right)$.

$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - \arccos\left(\frac{53}{80}\right)$.

Ответ: Углы трапеции равны $\arccos\left(-\frac{1}{20}\right)$, $\arccos\left(\frac{1}{20}\right)$, $180^\circ - \arccos\left(\frac{53}{80}\right)$ и $\arccos\left(\frac{53}{80}\right)$.